Egzamin 02 03 (termin I)

Egzamin z matematyki, 2 sem. WBWilŚ, r. 2002/2003

Nazwisko i imię........................................................................................... Grupa .

I. Część zadaniowa

1. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji z = x² + 2xy — 4x + 8y w prostokącie, którego boki znajdują się na prostych x = 0, y = 0, x = 1 i y = 2.

2. a) Wyznaczyć sumę szeregu liczbowego ^ b) Zbadać zbieżność szeregu ^

16n² — 8n — 3 (n- l)!(n + 3)!5ⁿ

(2 n)\

3. Rozwiązać równanie y' + ^

4. Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = x² + y², z = 0 oraz x² + y² = x i x² + y² = 2x (dla x < x² + y² < 2x).

■iczyć J (2,

5. Obliczyć / (2xy +

)dx + (x² + \/x + 1) dy po dowolnej krzywej C (nie prze-

2y/x+ 1

u

chodzodzącej przez prostą a; = —1) od punktu A(0,0) do B(3,1).

/z sin 7rz

——— dz, gdzie K jest łamaną zamknięte

tą przechodzącą przez punkty 0, — 2 + i oraz —2 — i.

II. Część teoretyczna

T.l Podać definicję pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych. Sformułować twierdzenie Schwarza. Sprawdzić jego prawdziwość na dowolnym przykładzie.

T.2 Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej. Podać dowolny przykład zamiany zmiennych w całce potrójnej i wyprowadzić jego jakobian.

T.3 Podać definicję promienia i przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Sformułować dwa kryteria wyznaczania promienia zbieżności. Wyznaczyć przedział zbieżności dla dowolnego szeregu potęgowego.