Egzamin 02 03 (termin II)

Egzamin poprawkowy z matematyki, 2 sem. WBWilŚ, r. 2002/2003

Nazwisko i imię........................................................................................... Grupa..........

I. Część zadaniowa

1.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y) = x² + xy + y² — 41nrr — lOlny.

2.    a) Zbadać zbieżność szeregu liczbowego ^ [ 2,! ' ■

b) Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na końcach przedziału

f (-¹)" _xn

3.    Rozwiązać równanie y' — y tg t = — ^5^ •

4.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = e^y~^x(y² — 2x²).

⁵- ^0bliczyć 1 ^{dx dy} dz'^gdzie B jest poiożonym na zewn9trz walca x2+y2 = i

B

obszarem ograniczonym powierzchniami x² + y² + z² = 2 i z = y/x² + y².

6. Obliczyć J(1 + lnrc + — )dx — (1 — Ina;) dy po dowolnym luku gładkim od punktu

K

A(e, 2) do B( 1,1) leżącym w pasie x > 0.

II. Część teoretyczna

T.l Sformułować twierdzenie o różniczkowalności funkcji uwikłanej. Podać przykład funkcji, danej w sposób uwikłany, spełniającej założenia tego twierdzenia oraz policzyć jej pochodną w wybranym punkcie.

T.2 Podać definicję obszaru normalnego względem osi OX. Podać przykład obszaru (wykonać rysunki), który jest

a)    normalny względem osi OX, a nie jest normalny względem osi OY,

b)    normalny względem osi OY, a nie jest normalny względem osi OX,

c)    normalny zarówno względem osi OX jak i osi OY.

T.3 Sformułować twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Korzystając z rozwinięć podstawowych funkcji elementarnych przedstawić w postaci szeregu Maclau-rina funkcję /(x) = cos² x. Podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu.

T.4 Podać twierdzenie Greena i podać przykład (z rozwiązaniem) obliczania całki przy zastosowaniu tego twierdzenia.