Egzamin Inżynieria Śr 04 05 (termin II)

Egzamin poprawkowy z matematyki WILiS, Kierunek Inżynieria Środowiska, 2 sem., r. ak. 2004/2005

I. Część zadaniowa

1.    Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem x⁴ + y² — Azy = 0.

2.    Wyznaczyć funkcję holomorficzną f(z) = u(x,y) + iv(x,y) wiedząc, że

u(x, y) = e^x(xcosy — y siny) i /(O) = 0.

3.    Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć / y/x² + y² dx+(xy²+y ln(x+^/x² + y²) dy,

L    _

gdzie L jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D ograniczonej krzywymi y = y/x i y = x².

4.    Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

JJ yz dxdy + xz dydz + xy dxdz s

gdzie S jest zewnętrzną stroną bryły ograniczonej powierzchnią walca o równaniu x² + y² = li płaszczyznami x = 0,y = 0, z = 0iz = l, przy czym x > 0 i y > 0.

n(n-l)

n=1

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych oraz w punkcie b) określić rodzaj zbieżności '271 — 1^    —    —---i⁰⁰

2 n

6. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y' + ^    .

II. Część teoretyczna

T.l Podać definicję pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych. Sformułować twierdzenie Schwarza. Sprawdzić jego prawdziwość na dowolnym przykładzie.

T.2 Podać definicję promienia i przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Sformułować dwa kryteria wyznaczania promienia zbieżności. Wyznaczyć przedział zbieżności dla dowolnego szeregu potęgowego.

T.3 Podać definicję obszaru normalnego względem osi OX i osi OY. Sformułować twierdzenie o obliczaniu całki podwójnej po obszarze normalnym. Podać dwa przykłady zastosowań geometrycznych całek podwójnych.