Egzamin Inżynieria Śr 04 05 (termin I)

Egzamin z matematyki

WILiS, Kierunek Inżynieria Środowiska, 2 sem., r. ak. 2004/2005

I. Część zadaniowa

1. Sprawdzić, czy funkcja z(x, y) = x² + xy + y² + ^ x ^ 0 i y ^ 0, ma w punktach ^J/3), ^2(^5 -37=) ekstrema lokalne. Jeśli tak, to określić ich rodzaj.

2. Korzystając ze wzoru Cauchy’ego obliczyć

(z⁴ - 81)²

dz, gdzie C jest krzywą opisaną

równaniem \z + 3| = 2.

r y

3. Obliczyć / x^y(— dx+lnxdy) po dowolnym luku gładkim od punktu A(l, 1) do B(2,1) K

leżącym w pasie x > 0.

4.    Obliczyć objętość bryły określonej nierównościami x² + y² + z² < 4z i x² + y² + 2: < 4.

5.    Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz zbadać zbieżność na końcach przedziału i określić jej rodzaj

_iy,2"(g-V3)"

S (2n + l)W

6. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y'" + 2y" — y' — 2y = x² + 2e^x.

II. Część teoretyczna

T.l Podać definicję oraz metodę rozwiązania równania różniczkowego Bernoulliego. Podać dwa przykłady tego typu równania (bez rozwiązywania).

T.2 Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego. Sformułować warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia a drugi nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.

T.3 Sformułować twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Podać definicję jakobianu przekształcenia na płaszczyźnie. Podać przykład zamiany zmiennych w całce podwójnej i wyprowadzić jej jakobian.