Egzamin 07 08 (termin II)

Egzamin poprawkowy z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2007/2008

-ZWDWNIS    “

Zad.Zl [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

f{x,y) = e~^x {y² - 3x).

2]

Zad.Z2 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie

Napisać równanie parametryczne prostej

l:

x + y - 2 = x - y + z =

o

2

oraz obliczyć odległość punktu P(3,4,5) od danej prostej.

J/ Zad.Z3 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Rozwiązać równanie y' + * = 3x dla x > 0 a następnie znaleźć tę całkę, która spełnia warunek y( 1) — 2.

. Zad.Z4 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

^s'/ Rozwiązać równanie:

^c    y" - y = e*.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Obliczyć pole powierzchni paraboloidy 2z = x² + y² wyciętej walcem z² + y² = 1 . Wykonać odpowiedni rysunek.

Zad.Z6 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 6]

Za pomocą całki potrójnej obliczyć współrzędną z_c środka ciężkości jednorodnej ( g(x,y,z) = go > 0 ) półkuli V określonej nierównościami: x²+ y² + z² ^ R² , z ^ 0. Wskazówka: objętość kuli o promieniu R wynosi |irff³.

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad-Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Napisać definicję liniowej niezależności wektorów ej , ej ,..., e_n . Sprawdzić, czy wektory ej = [1,1,0], ej = [—1,1,1], §3 = [1,3,0] są liniowo zależne.

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję pochodnej cząstkowej względem x funkcji f(x, y) w punkcie (s₀, J/o) • Czy funkcja f(x,y) = -JAz² + y⁴ ma pochodną cząstkową względem zmiennej x w punkcie (0,0) ? Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Napisać wzór na ^ , jeżeli /(i, y) — F , arcsin rrj/Y ax    \x    1

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Napisać określenie wartości własnej macierzy A i odpowiadającego jej wektora własnego.

2	0	1
0	4	0
-5	0	-2

Sprawdzić, czy £=[0,0, 2] jest wektorem własnym macierzy

Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sprawdzić, czy równanie y³ — x² + e^ly = 0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y(x) w otoczeniu punktu Xq = 0.

Zad.T6 [2p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Równanie y" = e^v sprowadzić do równania rzędu pierwszego (nie rozwiązywać).