Egzam

Egzamin poprawkowy z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 20X0/2011

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1)

*-*

Dla jakich wartości parametru a prosta L : < y = 2t , dla te® przebija płaszczyznę n ■. y + z - 3 = 0 pod

{ z — at

kątem *? Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny 7r przez prostą l.

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x,y,z) = z^/y - z² - y + 6x + 2z² + 3 .

Zad.23 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Dla :v e (0,oo) rozwiązać równajiie

xy" - 2y' = z-²

1

sin 2a

Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4] Rozwiązać równanie

y" + 4y =

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami ~    = 1, s = -1, z = x² + 3

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl j4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Jaki układ nazywamy układem Cramera równań liniowych? Dla jakich wartości stałej m układ mi    +y    +z    =1

2a-    -my    +2z    = -4    jest układem Cramera?

3:c    +y    +z    =3

Zad.T2 (4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Wykazać, że j jest wektorem własnym macierzy A =

2

0

-5

1

0

-2

. Jakiej wartości własnej odpowiada

ten wektor?

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję pochodnych cząstkowych funkcji /(x, y). Wykazać, że /„(0,0) dla funkcji f[x, y) = y/x² + y² nie istnieje.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wykazać, że w otoczeniu punktu P₀(l,l) istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana y = y(x) określona równaniem x³ + y³ ~ 2xy = 0 . Obliczyć y'(l).

Zad.T5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Opisać współrzędne sferyczne. Wyprowadzić wzór na jakobian takiego przekształcenia. Obszar V = { (x,y,z) 6 R³ : x² + y² + z² 2z, opisać we współrzędnych sferycznycli.

Max. 20 pkt