egzamin 11 2012

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r ak. 2011/2012

ZADANIA

Zad.Zl [7p - rozwiązanie piszemy na stronie lj

2 x - y = 3 x + y + z - 1

Obliczuć odległość punktu P(l, 1,1) od prostej l :

Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x,y) = e~^z(y² - 3x) .

Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OXY jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami z — — y/4x² + y'² , z — 0 i 4x² + y² = 4 (sporządzić rysunek bryły). Zad.Z4 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć /// z² dzdydz , jeżeli V : x² + y² + (z + l)² ^ 1. v

Zad.Z5 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia początkowego

xy" + 2y¹ = i³, y{ 1) =    j/'(l) = -g

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [lp+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

a)    Podaj co najmniej trzy własności iloczynu skalarnego wektorów.

b)    Obliczyć długość wektora a = 5p- 4q , wiedząc, że |pj = 2 , |ę] = 5 oraz <(p, q) = y . Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 i 2]

2x - y

Wykazać, ze granica lim    ——— nie istnieje.

(*,»)—(0,0) i + 3y

Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sprawdzić, czy równanie y³ - x² + e*² — 0 określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną y{x) w otoczeniu punktu x₀ = 0.

Zad.T4 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Równanie różniczkowe xy‘ + y = y² In x sprowadzić do równania liniwego.

Zad.T5 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Zdefiniować uogólnione współrzędne sferyczne, podać wzory opisujące związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a uogólnionymi współrzędnymi sferycznymi. Wyprowadzić wzór na jakobian tego przekształcenia. Bryłę V = {(z,y,z)6R³ : 4z² + 9j/² + z² ^ 36, z > 0} opisać w uogólnionych współrzędnych sferycznych,

Max. 20 pkt