e1

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2007/2008

Z AJL)A INI A

Zad.Zl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

1	co	0
0	2	-1
0	0	M

. Wyznaczyć wszystkie wektory własne tej macierzy,

Dana jest macierz

które odpowiadają najmniejszej wartości własnej.

Zad.Z2 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Napisać równanie płaszczyzny zawierającej oś OY i równoległej do prostej

\ x + 2z = 0 ^{1 1}    \ y 2 + 2 = 0

Zad.Z3 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x,y) = x²-\-y² — 6x w kole rc²-ł-y² ^ 100. Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

y" = e²\    3/(0) = 0, y\0) = -1.

Narysować odpowiednią krzywą całkową.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Rozwiązać w przedziale (0,7r) równanie liniowe: y" + y =    . ■» .

sin x

Zad.Z6 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 6]

Obliczyć za pomocą całki potrójnej moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jednorodnej bryły V określonej nierównościami: x² + y² + z² ^ z , z ^ y/x² + y². Wykonać rysunek bryły V . Wskazówka: wprowadzić współrzędne sferyczne.

Max. 40 pkt

TEORIA-

Zad.Tl [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Dla jakich wartości parametru m wektory e\ = [m, 1,0] , e*2 = [—1,1,1] , e*3 = [m, m + 2,0] tworzą bazę w IR³?

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję pochodnej cząstkowej względem y funkcji f(x,y) w punkcie (zo.yo) • Czy funkcja /(x,y) = \Z4x² + y* ma pochodną cząstkową względem y w punkcie (0,0) ?

Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

ObLiczyć ^ , jeżeli /(x,y) = F [x² + y²,

Zad.T4 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Napisać twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania o zmiennych rozdzielonych.

Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć jakobian przekształcenia określonego wzorami: x = 2ti, y = 3v.

Zad.T6 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

x² y² z² .

Bryłę ograniczoną powierzchniami:    * z = 3 opisać za pomocą uogólnionych

współrzędnych walcowych. Wykonać odpowiedni rysunek.

Max. 20 pkt