2009

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2008/2009

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Dane są proste i\ :

x — 2 -ł- 3t

y = -1-21    oraz I2 :

~ — 1 + t

x+y-z-l=0 a; + 3y + 3z - 11 =

0

. Wykazać, że proste

te leżą w jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć równanie tej plasczyzny w postaci ogólnej oraz w postaci parametrycznej.

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Sprawdzić, czy funkcja f(x,y,z) = x^/y — z² — y + 61 - z² ma w punktach Pj(4,4,0) oraz p2(2,0,1) ekstremum lokalne. Jeżeli tak, to określić rodzaj ekstremum i obliczyć jego

wartość.

Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: 9x² + 4y² = z i z = 36.

Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OXY bryły V określonej nierównościami: x² + y² ^ z², x² + y² + z² ^ 1 o gęstości g(x, y, z) = 4xz.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Metodą uzmienniania stałych dla x 6 (0, +00) rozwiązać równanie różniczkowe liniowe rzędu

g3x

drugiego: y" - 6y' + 9y = —x-.

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie l]

Podać interpretację geometryczną iloczynu wektorowego. Obliczyć pole trójkąta zbudowanego na wektorach: a = p — 3q i b = 2p + q , jeżeli |p| = 2 , |if| = 1 i <(p,gj = |.

Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać definicję różniczki zupełnej dla funkcji f(x,y_tz). Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji /(x, y, z) = xtg y + ln z w punkcie Po(l. 0,1) dla dowolnych przyrostów dx, dy, dz.

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Sformułować twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej. Sprawdzić, że równanie 3x² e^y + arcsin (xy) + y — 3 = 0 przedstawia w pewnym otoczeniu punktu Po(l. 0) funkcję uwikłaną y = y{x).

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wiedząc, że funkcja yo = Ci + Cie^x sin 2x + C$e^x cos 2x jest całltą ogólną równania liniowego jednorodnego: y'" — 2y" + 5y' = 0, metodą przewidywań wyznaczyć (przewidzieć, bez wyznaczania stałych) całkę szczególną równania: y'" - 2y" + 5y' = x² + sin 2x.

Zad.T5 [4p -• rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Podać postać równania Bernouliego (wraz z odpowiednimi założeniami). Sprowadzić równanie y' - 4xy = 4e^xy/y do postaci równania liniowego.

Max. 20 pkt