1098873056

Egzamin poprawkowy z Matematyki Obliczeniowej, II rok Mat.

(Ściśle tajne przed godz. 10:00 12 września 2014.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1. Dane są wektory vi, V2, bi, b2 € Mⁿ, przy czym Vj i Vi mają normę drugą równą 1 i spełniają warunek |vjvi| ^ \/2/2. Niech Hi = I — 2viv|, H2 = I — 2v2vJ (gdzie I oznacza macierz jednostkową n. x n).

a) Podaj algorytm o koszcie rzędu n, rozwiązujący układ równań liniowych

Hi	—h2		Xi		b,
^H2	Hi		x2		b2

b) Udowodnij, że układ równań (*) ma jednoznaczne rozwiązanie.

2.    Niech n > 1. Wykaż (powołując się na odpowiednie twierdzenie z wykładu), że dowolny wielomian o postaci

w(x) = a_nxⁿ + a_n_ix^n_1 H-----h aix + ao

można przybliżyć (w sensie aproksymacji jednostajnej) w przedziale [0,1] wielomianem stopnia co najwyżej n — 1 z błędem nie przekraczającym 2'~²ⁿ|a_n| i nie można lepiej.

Jak należy wybrać węzły interpolacyjne, aby wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej n— 1 przybliżał wielomian w w przedziale [0,1] z takim właśnie błędem?

3.    Skonstruuj odpowiednią bazę Newtona i znajdź współczynniki w tej bazie wielomianu interpolacyjnego Hermite’a stopnia co najwyżej 4. Warunki interpolacyjne są podane w tabelce:

X	-1	2
f(x)	4	16
f'(x)	-5	31
f"(x)	12