1098873053

Kolokwium z Matematyki Obliczeniowej, II rok Mat.

(Ściśle tajne przed godz. 12:15 29 kwietnia 2015.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1. Rozważamy równanie 10x — sin(x) = 3. Czy metoda iteracyjna określona wzorem x_n+i = (sin(x_n) + 3)/10 zbiegnie do rozwiązania cc dla xo = 0.33? Jeśli tak, to określ, dla jakich k zachodzi na pewno nierówność |x_k — ct| ^ 10^-,6|<x| (jeśli

w obliczeniach nie ma błędów zaokrągleń).

2. Wartość w funkcji f(x) = \Zp7(x) — ^/p2(x), takiej że pi (x) = x³ + 1 i P2M = x³ +4x² + 10, może być obliczona takimi sposobami:

Algorytm 1: Obliczamy W|( — ^/p_k(x) dla k = 1,2, a następnie w = wi — W2. Algorytm 2: Obliczamy w_k = y^/p_k(x) dla k = 1,2, a następnie

w = —(4x² + 9)/(wi + w₂).

W obu przypadkach do obliczenia wartości wielomianów używamy schematu Homera. Zakładamy, że x jest dodatnie i jest duże (rzędu 10¹⁰). Który algorytm, realizowany w arytmetyce zmiennopozycyjnej, jest lepszy? Odpowiedź uzasadnij w kilku zdaniach.

3. Metodą eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego w kolumnie rozwiąż układ równań liniowych Ax = b, dla

’ 4 2 1		0 '
2 1 0	, b =	1
8 2 2		-6

Sprawdź wynik.

4. Niech

' -4 '

0 '

' 0

' 1 1 -1 '

Vi =

-1

, v₂ =

-3

, v₃ =

, R =

0 0 0 —*

0 0 0

Macierz A jest równa iloczynowi QR = H1H2H3R, w którym czynniki Hi, H₂, H3 są macierzami odbić symetrycznych w M⁴, względem hiperpłaszczyzn prostopadłych odpowiednio do wektorów Vi, v₂ i V3. Rozwiąż liniowe zadanie najmniejszych kwadratów dla układu równań liniowych z macierzą A i wektorem prawej strony b = [41,—50,—72,96]^T. Uzasadnij poprawność użytej metody. Oblicz drugą normę residuum.