1098873054

Egzamin z Matematyki Obliczeniowej, II rok Mat.

(Ściśle tajne przed godz. 9:00 20 czerwca 2014.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1. Macierz układu równań liniowych Ax = b ma następującą postać blokową:

B	0 ...	0	c,
0
	B	0	cŁ_,
0	... 0	B	ck
Ci	r^T ... £k_,	C^T	0

Blok B o wymiarach p x p jest pełną macierzą symetryczną, diagonalnie dominującą. Macierz złożona z bloków Ci,...,    £ R^pxq (ostatnia kolumna

w schemacie blokowym pokazanym wyżej) ma kolumny liniowo niezależne.

a)    Wykaż, że układ z taką macierzą i dowolnym wektorem b £ R^kp+q ma jednoznaczne rozwiązanie.

b)    Podaj algorytm rozwiązywania takiego układu równań, o możliwie małym koszcie.

Wskazówka. Wektor prawej strony i rozwiązanie przedstaw w postaci blokowej dostosowanej do przedstawionego podziału blokowego macierzy A.

2. Do znalezienia pewnej wartości i wektora własnego macierzy

1	2	0	0
2	1	0	0
0	0	-4	1
0	0	1	-4

chcemy użyć odwrotnej metody potęgowej z parametrem a = —2 i z wektorem początkowym Xo = [1,0,0,0]^T. Czy metoda będzie zbieżna i jeśli tak, to jaką parę własną otrzymamy w granicy? Odpowiedź uzasadnij.