4834887626

Egzamin z Metod Numerycznych, III rok Inf.

(Ściśle tajne przed godz. 14:30 2 lutego 2013.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1.    Wykonaj dwie iteracje metody Newtona dla układu równań

f x³ — y² = 0,

< y³ + yz = 0,

[ z² + z = 2

dla punktu startowego (xo,yo>zo) = (1) 1,—2).

2.    Znajdź wyrażenia, których wartości są wskaźnikami uwarunkowania zadania obliczania liczby w = a¹ — b¹ ze względu na dane a, b.

Dla jakich danych zadanie to jest dobrze, a dla jakich źle uwarunkowane?

3.    Wartości fj,..., fM pewnej funkcji rzeczywistej f są podane w punktach Xi,..., x_M- Należy skonstruować taką kubiczną funkcję sklejaną

N—4

s(x) = diN?(x),

i=0

aby wyrażenie    ^— s(xi))² było jak najmniejsze.

a)    Napisz układ równań liniowych, taki że powyższe zadanie aproksymacji jest równoważne liniowemu zadaniu najmniejszych kwadratów dla tego układu równań. Co można powiedzieć o macierzy tego układu?

b)    Podaj warunek, który musi spełniać ciąg węzłów użyty do zdefiniowania funkcji B-sklejanych, aby zadanie było regularne.

c)    Jakich metod można użyć do rozwiązania tego LZNK, przy założeniu, że liczby M i N są rzędu 10²?

1

   Podaj najmniejsze n, takie że błąd aproksymacji jednostajnej funkcji f(x) = sinx w przedziale [0,7t/2] przez wielomian interpolacyjny z węzłami Czebyszewa jest mniejszy niż 10^-3. W oszacowaniu możesz skorzystać z nierówności 7C² < 10 (dokładniej, jest \/TÓ « 3.162).