1098873051

Kolokwium z Matematyki Obliczeniowej, II rok Mat.

(Ściśle tajne przed godz. 14:15 24 kwietnia 2014.)

Proszę bardzo uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi.

1.    Wykaż, że funkcja

<PM *= —7^ +    1007T

x + 2    2

ma w przedziale [0,2104] dokładnie jeden punkt stały i że można ten punkt znaleźć za pomocą metody iteracji prostej. Jaki jest wykładnik zbieżności tej metody?

2.    Pierwiastki trójmianu kwadratowego f(z) = z² + az + b ustawiamy w wektor [zi,Z2]^t € C². Oblicz wskaźnik uwarunkowania w normie maksimum zadania znajdowania tego wektora ze względu na zaburzenia danej a, jeśli a = —2, b = 3.

3. Jeśli istnieje macierz trójkątna dolna L, taka że macierz

9-3 3 -3    5 3

3    3 6

jest równa iloczynowi LL^T, to znajdź macierz L metodą Choleskiego.

W przeciwnym razie znajdź metodą eliminacji Gaussa z wyborem elementu głównego czynniki trójkątne L i U rozkładu macierzy PA; macierz permutacji P przedstaw w postaci ciągu par numerów kolejno przestawianych wierszy. Korzystając ze znalezionych czynników rozkładu rozwiąż układ równań liniowych Ax = b, gdzie b = [12,0,9]^T.

Sprawdź wynik.