1098873049

Egzamin z Metod Numerycznych, III rok Inf.

(Ściśle tajne przed godz. 14:30 3 lutego 2014.)

Proszę uważnie przeczytać treść zadań. Bardzo duży Wpływ na ocenę będzie miała czytelność rozwiązań i poprawność uzasadnienia każdej odpowiedzi oraz użycie dobrych praktyk przedstawionych na wykładzie.

1.    Przy założeniu, że punkt startowy Xq ± 2 leży w kuli zbieżności rozwiązania a = 2 dla każdego z równań

a)    f (x) = 0, gdzie f (x) =^f x³ — 5x² + 8x — 4,

b)    g(x) = 0, gdzie g(x) =^f x³ — 4x² + 5x — 2,

jaka będzie szybkość zbieżności metody Newtona? Odpowiedź uzasadnij.

2.    Dane są wektory bi, b2, Ci, C2,v G Mⁿ, liczba rzeczywista d, oraz macierz trójdiagonalna T o wymiarach nxn, symetryczna i dodatnio określona. Wektor v jest jednostkowy, tj. ||v||2 = 1, i określa macierz H = I — 2w^T. Podaj algorytm, który kosztem proporcjonalnym do n rozwiąże układ równań liniowych

’ H 0 c, '		X		bi
0 T c2		y	=	b2
c{ cl 0		z		d

(z niewiadomymi x,y G Kⁿ, z G IR) lub stwierdzi, że rozwiązanie nie istnieje lub jest niejednoznaczne.

3. Niech A będzie macierzą 4x2, taką że

	' 2	3 ‘		' 1 '
Hi A =	0 0	-1 2	, przy czym H] = I — Vi gdzie Vi =	1 1
	0	-2		1

a)    macierz A,

b)    macierz trójkątną górną R wymiaru 4 x 2 i wektor V2 wyznaczający odbicie Householdera o macierzy H2 takiej, że macierze Q = H1H2 i R są czynnikami rozkładu QR macierzy A,

c)    Rozwiązanie LZNK dla układu z macierzą A i wektorem prawej strony

b = [4,-2,1, —3]^T.