20643 matma egz001

EGZAMIN Z MATEMATYKI (SEM. II - 2006) - omówienie

EZ: patrz wymagania egzaminacyjne

ET:

I) Szeregi

co 2 n i X

^ n

a) Suma szeregu potęgowego ^- jest rozwinięciem funkcji zadanej wzorem

dla xe(-l,l).

'M-Zv^=>KD:

/.(*)

fn₊ I (*)

/.W

2/f x^ln~^x

n    * i

=-x² -» x², x² < 1 o -1 < x < 1, stąd r, = 1; dlax = ±1 mamy    (harmoniczny-rozbieżny)

n + 1

:2 tdt

Vxe(-l,l),i’(x) = £^y—= 2(x + x³+...) = -^_r => s(x)=}-^- = -ln(l-x²)

w=i P_i — x_o _

i    *

b) Całka oznaczona Jsin(x² jric jest sumą szeregu liczbowego postaci    —3) (2-l)i

wyprowadzenie).

fsin(j^!)* = (i y -- &= z₇i-iLfx^<-*^!<fc=y₇—^—-

i ^V ’ H ,^J[S (2n + l)! J S(2» + l)!„^J    ^(4n + 3)(2n + l)

c) Szereg Y n² xⁿ = x + 4jc² + 9x³ +... jest zbieżny jednostajnie dla |x| <0,9, ponieważ na mocy KW

(uzasadnić)

2) Definicja, obliczanie i zastosowanie całki wielokrotnej

a) Na podstawie definicji JJ(—2)cicz/y = —2|Z>| (dlaczego?) i gdy D = j(x,y):x² + y² < 8 a x>_y[y² | całka

ćwiartka kola o promieniu 2\l2

nU8)²

ta wynosi -2—-—— = -4tt.

n    n

^{-2)dxdy = lim S_n, gdzie S_n = £(-2)zlD_ł = -2 £ AD_k = -2|Z)| (ciąg stały) dla każdego podziału

n    ^n_>oc    k=\    *=I

normalnego D na elementy D_k i wyboru punktów pośrednich, stąd JJ(-2)*^ = lim(-2|D|) = -2|D|