Egzamin 01 02 (termin I)

Egzamin z matematyki, 2 sem. WBWilŚ, r. 2001/2002

Nazwisko i imię........................................................................................... Grupa .

I. Część zadaniowa

1.    Korzystając ze wzoru Cauchy’ego obliczyć ®    . —-77 dz, gdzie C jest okręgiem

J z{z+%Y

C

zorientowanym dodatnio o środku w punkcie i oraz promieniu 1/2.

2.    a) Zbadać zbieżność szeregu liczbowego ^    ' •

n= 1 ⁿ

b) Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na końcach przedziału

y- _HT_ „

^3”-yS

3.    Rozwiązać równanie y' — y tgt = —    •

4.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = e^y~^x(y² — 2x²).

5.    Obliczyć Ijf -_T^—gdzie Sjest położonym aa zewnątrz walca *?+;/³ = |

.///    “I^- y

B

obszarem ograniczonym powierzchniami x² + y² + z² = 2 i z = \/x¹ + y¹.

6.    Obliczyć j(1 + Ina: + —) dx — (1 — lnx)dy po dowolnym luku gładkim od punktu

K

A(e, 2) do B( 1,1) leżącym w pasie x > 0.

II. Część teoretyczna

T.l Sformułować twierdzenie o różniczkowalności funkcji uwikłanej. Podać przykład funkcji, danej w sposób uwikłany, spełniającej założenia tego twierdzenia oraz policzyć jej pochodną w wybranym punkcie.

T.2 Podać definicję obszaru normalnego względem osi OX. Podać przykład obszaru (wykonać rysunki), który jest

a)    normalny względem osi OX, a nie jest normalny względem osi OY,

b)    normalny względem osi OY, a nie jest normalny względem osi OX,

c)    normalny zarówno względem osi OX jak i osi OY.

T.3 Sformułować twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. Korzystając z rozwinięć podstawowych funkcji elementarnych przedstawić w postaci szeregu Maclau-rina funkcję f(x) = cos² x. Podać przedział zbieżności otrzymanego szeregu.

T.4 Podać twierdzenie Greena i podać przykład (z rozwiązaniem) obliczania całki przy zastosowaniu tego twierdzenia.