zestawC

Matematyka, kolokwium 16 06 2011, Zestaw C.

1.    Pokazać, że jeżeli ciąg zmiennych losowych X_n jest zbieżny do zmiennej losowej Y

w przestrzeni L (Q, cr, P) to ten ciąg X„ zmiennych losowych jest zbieżny do

zmiennej losowej Y w przestrzeni Z,¹ (Q, a, , przy —» co.

2.    Niech X, będzie jednorodnym procesem Poissona z parametrem X (z intensywnością

X). Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz funkcję autokowariancji procesu Y,=X_l+l-X,,t> 1 .

3.    Jednorodny łańcuch Markowa o trzech stanach -1,0, 1 ma następującą macierz

0    0,5    0,5

prawdopodobieństw przejścia.: 0,25 0,5 0,25 . Zakładając, że w momencie

0,5    0,5    0

zerowym prawdopodobieństwo jest jednakowe dla wszystkich stanów znaleźć wartość oczekiwaną łańcucha Markowa po dwóch krokach oraz kowariancję między zmiennymi losowymi X_}, X₂ tego łańcucha Markowa.

4.    Zakładamy, że w danym obszarze obserwacji obiekty określonego typu mogą powstawać samorzutnie lub też obiekty tego samego typu mogą przybywać do obszaru obserwacji z zewnątrz (imigracja). Chwile samorzutnego utworzenia się obiektów są zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem X . Natomiast, strumień obiektów przychodzących z zewnątrz do obszaru obserwacji jest strumieniem poissonowskim z parametrem //. Niech X(t) oznacza

ilość obiektów znajdujących się w chwili t w obszarze obserwacji. Przyjmujemy, że P(X(0) = 0) = 1 Napisać równania różniczkowe na P_n (t) = P(X(t) = ń). Wyznaczyć

z tych równań różniczkowych równanie różniczkowe na M(t) = EX(t) i rozwiązując to równanie różniczkowe wyznaczyć M(t).

5.    Niech W_t będzie standardowym procesem Wienera, tzn. EW~ =t.

a.    Obliczyć E| W_t | .

b.    Wyznaczyć P( W_:W_t > 0), gdzie 0<s<t.

Roman Różański.