3582324344

Zestaw 1

x — y

1.    Pokazać, że dla funkcji f (x,y) —-- istnieją granice iterowane w (0,0), natomiast nie

x + y

istnieje lim /(x,y).

(x - 1) 4- y⁴

2. Pokazać, że dla funkcji / (x, y) — -—^-- istnieją granice iterowane w (1,0), natomiast

nie istnieje lim / (x, y)

(a,y)-4(1,0)

3. Pokazać, ze istnieje lim (x — 2y) sin-- sm-natomiast nie istnieją granice lte-

(*,»)-+( 2,1)    x — 2 y- 1

rowane.

4.    Korzystając z definicji wyznaczyć % (x,y) i (x,y) dla funkcji danej wzorem

/ (x, y) = y/x² + y².

Czy istnieją §£ (0,0) i g (0,0).

5. Pokazać, że funkcja / : M² —> R, zadana wzorem

I

_{f (x u) =} j    ^cUa (*» y) * (°»°)

^{H ,V)}    '    0 dla (x,y)=(0,0)

ma w punkcie (0,0) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu (tzn. (0,0) oraz (0,0)), ale pochodne te nie są identyczne.

6. Podać wzory wszystkich pochodnych cząstkowych I-go i Ii-go rzędu dla funkcji danej wzorem: (a) / (x, y) = e^x3+v²~^x,    (b) / (x, y) = ln (x² - y²),

(d) f (r,<p) = rcosip,    (e) / (s, t, u, v) = — arctg \/38 + 21,

v'

(c)    / (w, v, t) =t arcsin y/uv,

00 / (*, V, z) = —+    ¹

x 4- 2y 2y -f 3z

7. Podać macierze Jacobiego dla funkcji danych wzorami:

(a)	/ (*, y, z) =	[OiX
(b)	/ (*, y) = [®y, J
(c)	f(t) = [i, i^2,	Vt\,
(d)	II "TT Sb	exy-x
(e)	f(x,y) = $

8. Dla funkcji z zadania 6 podać macierze Jacobiego oraz macierze drugich pochodnych cząstkowych.

1