018 8

5.2. Obliczanie granic

Korzystając z definicji granicy funkcji w punkcie, możemy wykazać, że dla funkcji stałej f(x) = c dla dowolnego Xq zachodzi lim f(x) = c.

x~->x₀

Dla funkcji f{x) — x dla dowolnego Xq mamy:

lim f(x) = xo x->x₀

Przy obliczaniu granic często korzystamy z poniższego twierdzenia jest ono wnioskiem z analogicznego twierdzenia dotyczącego granic ciągów (s. 241).

TWIERDZENIE

Jeżeli		d II (W	lim g(x) =	= b. gdzie a, 6	G	R, to
	.T	->^0	>x0
1.	lim	(/W+.9W)	= lim f(i	) + lim o(.x)		cl b	granica sumy jest
	x—>x0		B i B o	X—>Xo			równa sumie granic
2.	lim	(cf(x)) = c ■	lim f(x) =	c • a, gdzie c	G	R	stałą, można wyłączyć
	X >Xq		c-^x0				przed granicę
3.	lim		= lim /(ar)	• lim e (ar) =	a	•6 *	granica iloczynu jest
	X—*Xq		x->x0	x-^x(,			równa iloczynowi granic
4.	lim	m iks„	/(z) ■ o.	jeśli b ^ 0			granica ilorazu jest
	x-^a',Q	q (x) lim	g(x) b				równa ilorazowi granic
		X >Xq

Przykład 1

lim (2x² + 5) = lim 2x² + lim 5 = 2- lim x² + 5 = 2- lim x ■ lim x + h =

x—>3    x—>3    x—>3    x—s-3    x-^3 x—»3

= 2 • 3 • 3 + 5 = 23

jeżeli funkcja f jest wielomianem, to: lim f{x) = /(ar₀)

X~>X()

Zauważ, że dla funkcji f(x) = 2ar² -i- 5 mamy /(3) = 2 • 3² + 5 = 23, czyli lim(2a:² -(- 5) = /(3).

Ćwiczenie 1

Oblicz granicę.

a) lim (3ar² — x + 2) b) lim (a:³ — 3.x² + 3ar — 1) c) lim (ar² + l)¹⁰

x—*—2    x—>3    x—U

3.2. Obliczanie granic 263