3582324346

Zestaw 1

gg — y

1.    Pokazać, że dla funkcji f (x,y) —-- istnieją granice iterowane w (0,0), natomiast nie

x + y

istnieje lim f(x,y) .

(x — 1) y^

(x - 1) + y⁴

2. Pokazać, że dla funkcji / (xn, y) — ——-s-- istnieją granice iterowane w (1,0), natomiast

• —    _L nt4

nie istnieje lim    f(x,y)

3. Pokazać, ze istnieje hm    (x — 2y) sin-- sin-natomiast nie istmeją granice lte-

x-2    y-1

rowane.

4.    Korzystając z definicji wyznaczyć (x,y) i (x,y) dla funkcji danej wzorem

/ (z, y) = \Jx² + y².

Czy istnieją §| (0,0) i fj (0,0).

5.    Podać wzory wszystkich pochodnych cząstkowych I-go i Ii-go rzędu dla funkcji danej wzorem:

(a) / (ar, y) =    (b) / (x,y) = ln (a:² - y²),

vL

(d) / (r,<^) = rcos<£>,    (e) / (s, t, w, = — arctg \/3s + 2t,

(f) / {z, y, z) ~ -7TT- +

a: 4- 2y 2y 4- 3z

(c)    / (w, v, t) =t arcsin y/vżv,

6. Podać macierze Jacobiego dla funkcji danych wzorami:

(a)    / (x, y, z) = [aia: 4- &iy 4- Ci2, a₂x 4- b₂y + c₂z, a₃ar 4- &₃y 4- c₃«],

(b)    / (a:, y) = [ary, {],

(c)    f(t) = [t, t²,y/t],

(d)    f(x,y,z) =

(e)    / (ar, y) =

7.    Dla funkcji z zadania 5 podać macierze Jacobiego oraz macierze drugich pochodnych cząstkowych.

8.    Korzystając z faktu:

Jeśli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie (xi, ... ,ar_n), zaś f jest różniczkowalna w punkcie g(xi, ... ,ar_n) to funkcja f o g jest różniczkowalna w punkcie (xi, ... ,ar_n) a jej macierz Jacobiego wyraża wzór:

(fog)^l(x₁, ... ,ar_n) = f'\g(x₁, ... ,ar_n)] • gf (x_1} ...,ar_n)

1