1673068244

FUNKCJE ANALITYCZNE

Ćwiczenie | Pokazać, że dla dowolnej funkcji M-różniczkowalnej / mamy

(9f\	df	(9f\
\9z)	dz'	[dź)

df

dz‘

Ćwiczenie | Obliczyć f_z oraz f_z, gdzie f(z) = |z|²Re(,z⁸). Dla funkcji M-różniczkowalnej w zq mamy więc

f(z) = f(z₀) -I- fz(z₀)(z - Zo) + h(zo)(z - z₀) + o{\z - z₀1)

oraz, dla z ^ zo,

f(z) - !(zo)

Z- Zq

— fz{zo) + fź(zo)~-+

z — Zo

o{\z - Zo\) Z - z₀

Wspólnie z ostatnim przykładem daje to następującą charakteryzację funkcji C-różniczkowalnych.

Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-różniczkowalna w punkcie z₀ wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-różniczkowalna w Zq oraz /z(zq) = 0, tzn. w zq spełnione są równania Cauchy’ego-Riemanna:

{

U_X = Vy, Uy = ~V_X.

W takiej sytuacji f'(zo) = f_z(zo). □

Powiemy, że funkcja / :    —> C, gdzie fi jest zbiorem otwartym w C, jest

holomorficzna, jeżeli jest ona C-różniczkowalna w każdym punkcie. Zbiór wszystkich funkcji holomorficznych w fi oznaczamy przez 0(fi), natomiast przez O*(fi) zbiór nigdzie nieznikających funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika, że suma, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji holomorficznych są funkcjami holomorficznymi. Jeżeli / = u + iv jest M-różniczkowalna, to / jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równania Cauchy’ego-Riemanna.

Ćwiczenie

Ćwiczenie

Pokazać, że e^z jest jedyną funkcją z 0(C) taką, że /' = / oraz /(O) = 1. Pokazać, że cos, sin, cosh, sinh € G(C) oraz obliczyć pochodne zespolone tych funkcji.

Propozycja 2.4. Załóżmy, że f jest hołomorficzna i klasy C¹ w pewnym otoczeniu zq G C oraz f'(zo) / 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie Zq oraz V - otwarte otoczenie f(zo), t.że f : U —► V jest bijekcją, f~^l jest holomorficzna oraz

(2-6)    (T‘)'(/W) = J^y * e U.

Dowód. Jeżeli zapiszemy / = u + iv, to rzeczywista różniczka / ma postać