img423 (3)

Widzimy więc, źe dla dowolnej liczby e > 0 istnieje taka liczba b, > O (d, = ), że dla dowolnego x jeśli tylko 0< |x — O | < ó,, to | a* - 11 < e. Oznacza to, że li ma* = 1.

= 1 (z udowodnionej już

Niech teraz a e (O, 1). Wtedy - > 1, a więc lirn

części twierdzenia). Na mocy definicji Heinego oznacza to, że jeżeli (x_n) jest

ft>

dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n * 0 i lim x_n = 0, to lim^ -    = 1. Wobec

tego korzystając z odpowiednich twierdzeń (jakich?) o granicach ciągów, obliczamy:

1

1

^1	xn		xn
	lim
	n->oo|

lim a " = lim

n-»oo    n—>co

lim

n—>°o

?-|V-

T

Koj

Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie granic funkcji w punkcie

Przy obliczaniu granic będą nam pomocne pewne własności, analogiczne do własności granic ciągów. Bezpośrednio z własności granic ciągów (dzięki zastosowaniu definicji Heinego) wynika następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 2.

Jeżeli funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀ oraz a) funkcja / jest stała, tzn. /(x) = c dla x e S(x₀), to istnieje granica funkcji / w punkcie x₀ i lim /(x) = c,

b) f(x) = x dla x e S(x₀), to istnieje granica funkcji / w punkcie x₀ i i™ /(x)=x₀.

Dowód.

Udowodnimy część a) twierdzenia. Niech (x„) będzie dowolnym ciągiem, którego wyrazy x_n e S(x₀) oraz lim x_n = x₀. Wtedy f[x_n) = c, więc ciąg j/(x„)J jest stały, zatem lim f(x_n) = c. Wobec dowolności ciągu (x_n) oznacza to, że

n—

lim /(x) = c, co kończy dowód tej części twierdzenia. Dowód części b) jest

X »X₀

podobny.

Możemy sformułować jeszcze jedno twierdzenie.

IDZENIt a.

Istnieją granice lim f(x) Mim g{x), oraz c jest dowolną liczbą rzeczywi-i to Istnieją granice: lim [c • /(*)], lim [/(x) + g(x)j, lim [/(x) - <?(*)],

X—>x₀    x >X₀    x—>x„

ife

9{*

J/W •9(x)],Jlm Ifiwdzlwe są równości:

I) J!"j [c ■ /(*)] = c • ta /M,

(przy dodatkowym założeniu, że lim g(x) * O) oraz

X >X₀

lim [/(x) + g(x)j = lim /(x) + lim g{x),

ii    X—>X₀    X—fX₀

Hm U(x) -g(x)} = ^lim /(X) - lim g(x),

»    x->x₀    x-wt₀

lim [/(x) • g(x)j = lim f(x) - lim g(x),

X M,,    X—rX₀    X—taq

₌ JS/^M

lim

*

m

9 W

lim g(x) '

x—>X_n

1'uwyższe twierdzenie jest bezpośrednią konsekwencją odpowiednich twier-il/nh dla granic ciągów i zastosowania definicji Heinego.

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy bezpośrednio 1WIERDZINIE 4. (o trzech funkcjach)

Jeżeli funkcje /, g i h są określone w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀ I dla dowolnego x e S(x₀) spełniona jest nierówność /(x) < g(x) < h(x), istnieją granice funkcji / i h w punkcie x₀ oraz lim /(x) = lim /i(x) = o, to istnie-

X—»X₀    X—>x₀

Je granica funkcji g w punkcie x₀ i lim g(x) = a.

I    X—>X₀

Wymienione wyżej twierdzenia znajdują zastosowanie przy obliczaniu granic lurikcji.

PRZYKtAD 3.

Obliczmy lim

x² - 3x + 7 x + 4

Zauważmy najpierw, że lim x = 1

x-»1

lim (—3x) = -3 • 1 = -3

x-»1

lim x² = lim (x -x) = 1 -1 = 1

X->1    X—>1

lim (x + 4) = 1 +4 = 5

x-x1

lim 7 = 7

X—>1

(twierdzenie 2.b), skąd (twierdzenie 3.a),

(twierdzenie 3.d);

(twierdzenie 3.b i twierdzenie 2.b); (twierdzenie 2.a).