0096

97

§ 2. Granica funkcji

liczby E>0 istnieje taka liczba <5>0, że

(3)    f(x)>E    (/(x)<— E),    jeżeli tylko |x—a|<«5

(gdzie, jak wszędzie, x jest wzięte z SC i jest różne od o).

Zapis tych faktów jest analogiczny do (2):

lim/(x) = + oo (— oo).

x-*a

W rozważanym teraz przypadku można powtórzyć uwagi dotyczące granicy prawostronnej i lewostronnej.

Jeżeli zbiór SC = {x} zawiera dowolnie duże (co do wartości bezwzględnej) dodatnie (ujemne) wartości x, to mówimy, że +oo (—oo) jest punktem skupienia dla SC.

Mówimy wówczas, że funkcja /(x) przy x dążącym do + oo (— oo) ma granicę A, jeżeli dla dowolnej liczby e>0 istnieje taka liczba A >0, że

(4)    |/(x)—^4|<e,    jeżeli tylko x>A (x< —A)

(gdzie x należy do SC). Piszemy przy tym

lim f(x)=A.

\^D)    x-> + 00

(*-*-00)

Łatwo też wprowadzić analogiczne definicje w przypadku A= + oo lub A = — oo. Sens wszystkich tych definicji jest wspólny: funkcja f(x) powinna być dowolnie „bliska” swojej granicy A, jeśli tylko zmienna niezależna x jest dostatecznie „bliska” swej granicy a. Przy tym zmienna jest bliska swojej granicy skończonej, jeżeli różnica pomiędzy nimi jest co do wartości bezwzględnej mała, a jest bliska granicy nieskończonej, gdy sama jest (co do wartości bezwzględnej) wielka i przy tym zachowuje znak granicy.

Jasne jest, że liczba S (A) we wszystkich przypadkach zależy od e (E).

Zauważmy, że używa się też następującej terminologii: funkcję / (x) dążącą do zera nazywa się nieskończenie małą. Jeżeli |/(x)|-» + oo, to funkcję /(x) nazywa się nieskończenie dużą. Jeżeli ostatnia własność jest słuszna, gdy x-*a, to mówimy także, że w punkcie a funkcja jest nieskończona. Terminologia ta jest często używana w literaturze radzieckiej.

53. Sprowadzenie do przypadku ciągu. Jeżeli rozważać funkcje zmiennej naturalnej n, to jej granica przy n-►<», określona w ustępie 52, pokrywa się oczywiście z granicą ciągu, określoną w ustępach 23 i 27 (rolę A gra tam N). Tak więc granica ciągu jest szczególnym przypadkiem granicy funkcji.

Również na odwrót, granica funkcji może być w pewnym sensie sprowadzona do granicy ciągu.

7 G. M. Fichtenholz