zadania matematyka (4)

4

Zadanie 24. Wykazać, że następujące granice funkcji nie istnieją

4

a)    lim —, ' x-»o _x

b)    lim

c) lim

x⁵ — 2x² 4- 3x

:² — 1

⁺4 x(x — 4) ’

Zadanie 25. Obliczyć granicę funkcji 3x + 2

d) lim sin—.

’ x->0 X

a)    lim

’ ar—+1

_b)    lim ——

’ x-+2 X - 2

, x² + 3x 4- 2

c)    lim

1

sm(3x) h) lim . ; x-*o sm(5x)

• xr tg(2x) x->o sm(3x)

sin(5x) cos(3x) 3x

2 arc sin x

j)    lim

^Jy x—»o

k)    lim

l)    lim

X—>—

m) lim

__2x — 3’

\/x 4- 3 — 2

»-i x²

d) lim

3x

. _r \/T+2x — 3

^e)    ia ’

f)    lim —--r—

' X >1 \ 1 — £    1 - i

_{x v} sin(x — 2)

^g> ia-jra^-’

3 arctg(x 4- 3) sin x — cos x cos(2x)

n) lim

' x—>o

V1 4- sinx — %/l — sin x tgx

Zadanie 26. Przy pomocy twierdzenia o trzech granicach obliczyć granicę

_N    tu — a uli

c)    lim --,

x-oo 2^X + cos X

d)    lim sin x cos —.

⁷    •'r_.fl    rnżi

a)    limxsin-,

' x—+o    x

3

b)    hm a/x² — 1 arctg-

*-*-i    x 4-1

Zadanie 27. Wykazać, że każda z poniższych funkcji ma miejsce zerowe w przedziale [—5,5]

a) l9xn f(x) := x³ — x + 2,    c) 19xh /(a:) := x⁴ + x² - 2,

b) R9xh/(i) := 2^X — 2~^x,    d) I9xh /(x) := 3*’¹ + 4¹"* + 2x - 5.

Zadanie 28. Przy pomocy definicji, wyznaczyć pochodną każdej z poniższych funkcji w dowolnie ustalonym punkcie dziedziny

a) R9xk f(x) := 2 - x,    c) (0, +oo) 9xh /(x) := \/ź,

b) l9x^ f(x) := cosx,    d) R 3 x i-* /(x) := x⁴.

Zadanie 29. Zbadać różniczkowalność każdej z poniższych funkcji w całej dziedzinie

a) R 3 x

/(*) :=

x² sin^,

0,

x ^ 0, x = 0 ’

b) IR 3 x i—> /(x) :=

x² + 4x - 4, 5x 4- 2,

x < 3, x > 3

Zadanie 30. Wyznaczyć pochodną funkcji

4- x — 2

;²-f 7

a)    R \ {0} 9 x /(x) := 3x⁷ + 9x^-5 -

b)    19xh /(x) := 3 cos x — 3 arctg x 4- 2^X,

c)    19xh /(ar) := (x⁴ - 2 cosx 4- 9)e^x,

d)    R\{-2} 9xh /(x) := 3x(x 4- 2)^_1

5x²

e)    R3xh /(x) := —

f) R \ {1} 9xh /(ar) :

g)	(0, +oo) 9XH jf(x) :=		= (y/x — x)(2x + y/x)
h)	R \ [—1,1] 3x	»-►/(*)	:= log5(x^2 - 1),
i)	1 9 x i—* /(x)	:= (x-	l)(x 4- 2)^2(x 4- 3)^3,
j)	M \ {0} 9xh	/(*) ^:=	(ln x^2)^3,
k)	(—1, 1)9xm	/W :=	/l — o:^2 ^arCC0SVl + *’’
1)	(0, +oo) /(#) :=		= y^2x4- y]x + yfx.

^5’