Picture4

II)

1’reyklail 1.2

Wykazać, że następujące wyrażenie jest tautologią:

(~ p)    a q).

Układamy tablicę wartości logicznych implikacji w zależności od wartości logicznych zdań p i q:

p	</	~p	p/sq	~(p A?)	{~p) =>-(/> A q)
1	1	0	1	0	1
1	()	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1

W każdym z czterech możliwych przypadków implikacja jest prawdziwa, więc jest to tautologia.

Przykład 1.3

Warunkiem koniecznym na to, aby X był ojcem Y jest, by Y był młodszy od X. Wiemy, że Adam jest młodszy od Zbyszka. Czy poprawne są wnioski:

a)    Adam jest ojcem Zbyszka,

b)    Zbyszek jest ojcem Adama?

Oznaczamy przez p zdanie: ,X jest ojcem Y\ natomiast przez ą zdanie: „)' jest młodszy od X". Jeśli warunkiem dla /? jest q (zy jest warunkiem koniecznym />), to znaczy, że ze zdania p wynika zdanie q (p => ą).

Wiemy, że „Adam jest młodszy od Zbyszka”, czyli znamy zdanie q. W tym przypadku nie możemy nic wnioskować o zdaniu p, a więc obu zdań: „Adam jest ojcem Zbyszka” oraz „Zbyszek jest ojcem Adama” nie można ocenić i mogą być one zarówno prawdziwe, jak i fałszywe.

Gdyby wiadomo było, że np. „Adam jest ojcem Zbyszka”, to wtedy można by wnioskować, iż prawdziwe jest zdanie „Zbyszek jest młodszy od Adama”, natomiast zdanie „Adam jest młodszy od Zbyszka” byłoby fałszywe.

Zadania

I. Jaka jesl wartość logiczna następujących zdań: 4    7

a) (    ) v (cos 100° - O),

II IN

(		\	'	fV3 jj
cos 60 = V	2 \ j		cos 30 =	s ^2 )j

d)    (logi 9 — 2) <=> (log₁ 5 > 0),

i

e)    V [(a-² + 3a* + 2 = 0) a (x < 0)],

X

o V(VI^r=X),

X

g)    A (yfx* = x),

X

h)    A [(jc < 0) => (x < 2)],

X

i)    A [(x<0) =>(*<-!)],

X

j)    [ V (ac² + 5 < 0)] =>[ V (jc² + ac + I =0)1,

X    X

k)    V [(a-² + 1 = 0) => (x + 1 = 0)],

X

l)    [ A (jc < ac + 1)] => (2 > 3),

X

I) A[(jc<0)=>((0,5r<4)],

X

111) I V ( y[x^ = .V)] => [ A (yfx* = ac)],

A’    .Y

n)    A [jc > 0 => |a' + 11 < 2 ],

A*

o)    ~ A |(.r > I) => (.y + I > 0)],

X

p)    - V [(.Y < 0) A (A-² -3;c + 2 = 0)],

A*

r)    (2 jest dzielnikiem liczby 15) o (15 jest liczby parzystą),

s)    |(2»    I)² jest liczbą nieparzystą dla każdej liczby naturalnej //1 a |isluii

liczba naturalna //, dla której liczba (2// - I)‘ jest liczbą pierwszą|.

2. ( zy następujące zdania są prawdziwe:

a)    leżeli Jan nie zna logiki, to jeżeli Jan zna logikę, to Jan urodził się w wieku p.n.e.,

b)    Inn zna logikę wtedy i tylko wtedy, gdy nie prawda, że nie jest prawdą, Inn zna logikę