82308

Przykład 4.29 Wykazać, że funkcja f(x) = x² jest ściśle wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód:

Niech £1,2:2 będą dwoma różnymi punktami należącymi do R. a X dowolną liczbą z przedziału (0,1). Wówczas /(Axj + (1 — A)x2) = [Axi + (1 — A)x2]² =

[A(xi - x₂) + x₂]² = A²(xi - x₂)² + 2A(xj - x₂)x₂ + x² <

A(xi - x₂)² + 2A(xi - x₂)x₂ + x\ = Axf + (1 - A)x| = A/(xi) + (1 - A)/(x₂).

W dowodzie wykorzystano nierówność A² < A, prawdziwą dla A 6 (0,1) i założenie, że Xl ± £2 •

9

Definicja 4.14 (Epigrafn funkcji)

Epigrafem funkcji / : (a. 6) »-* R , nazywamy zbiór

epif = {(*.y) g R² ■ /{*) < y)

Twierdzenie 4.15

Funkcja f : (a.b) R jest wypukła w (a.b) wtedy i tylko wtedy, gdy epi f jest zbiorem wypukłym.

Przykład 4.30 Pokazać, że epigraf funkcji f(x) = |x| jest zbiorem wypukłym.

Dowód:

Niech (x.yi),(x₂.y₂) G epi f (tzn: \xi\ < j/, « |x₂| < y₂ )■

Dla x = axi + (1 - o)x2 » a € (0,1) mamy |oxi + (1 - a)x2| < |a||xi| + |1 — a||x2| = a|xi| + (1 - a)|x₂| < oyi + (1 - a)y₂.

Oznacza to, że (qxi + (1 - a) £2, «yi + (1 — o) ife) G epi f .

9

Definicja 4.15 (Punktu przegięcia wykresu funkcji)

Punkt xq € (a.b) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji / 6 D^l((a,6)), jeżeli istnieje liczba (6 > 0) taka, że dla x € (xo — 6. xo) funkcja jest ściśle wypukła ( ściśle wklęsła), a dla x G (xo. xq + 6) ściśle wkłęsla ( ściśle wypukła ).

Twierdzenie 4.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściślej wklęsłości ))

Jeżeli f € D²((a,6)) i f"(x) > 0 (f"(x) < 0), dla każdego x € (a.b), to funkcja f jest ściśle wypukła ( ściśle wklęsła ).

Twierdzenie 4.17 ( Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Niech punkt (xo.f(xo)) będzie punktem przegięcia wykresu funkcji fec*((a.b)). Wtedy f”(x₀) = 0.

Dowód:

Niech f'(x₀) 7^0 .Z ciągłości drugiej pochodnej funkcji f w punkcie xo i Twierdzenia3.8 wynika, że istnieje takie 6 > 0, że dla x € (xo — S,xo 4- <5), f '(x) > 0 lub f” (x) < 0 . Przeczy to założeniu, że punkt Xq jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

9

Uwaga 4.10 ( Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia)

30