187

372 XIX. Całki oznaczone

Można wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna a _n ogólniej, że funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyją¹ co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.    ^>etn

§ 19.2. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

y

czonej

Jeżeli w przedziale (a, bj jest /(.v)>0, to pole obszaru ograniczonego lukiem krzyw =/(*), odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i x = b (rys. 19.1) równa się całce ozn

J7W dx.

a

Jeżeli zaś w przedziale <a, bj jest /(x)<0, to analogiczne pole równa się

- J f{x) dx.

a

Zawsze więc pole wyżej określonego obszaru można wyrazić całką oznaczoną

J |/(jc)| dx.

a

b    a

Przez J f(x)dx, gdzie a>b, rozumiemy całkę — Jf(x)dx. Przyjmujemy również, że

a    h

jf(x) dx = 0.

§ 19.3. WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli a^b^c, to

(19.3.1)    ]f(x) dx= J/(x) dx+ J/(a) dx ;

a    a    b

jest to tzw. addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania.

Uwzględniając definicje podane § 19.2 łatwo stwierdzić, że wzór (19.3.1) jest pr^avv dziwy przy dowolnym układzie liczb a, b, c, tak więc założenie a^b^c możemy opuści Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej:

(19.3.2)

J kf(x) dx = k J/(.r) dx.

Całka sumy równa się sumie caiek, tzn.

(19.3.3)

f (/(*)+S (*)) dx= ]/O) dx+ ] g(x)dx;

_t to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.

' Całka oznaczona posiada więc własność tzw. liniowości (własności druga i trzecia).

Wzory powyższe należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie cynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.

Prawdziwy jest również następujący wzór:

(19.3.4)

J/00 dx=K (b — a),

gdzie K jest pewną liczbą spełniającą nierówność m^K^M, przy czym m oznacza kres dolny, a M - kres górny funkcji f(x) w przedziale {a, b).

Na podstawie znanej własności Darboux mówiącej, że funkcja ciągła przybiera wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swymi kresami górnym i dolnym, wzór powyższy możemy napisać w postaci

J/M dx=f(c) {b-a),

a

gdzie c jest pewną liczbą spełniającą nierówność a^c^b, jeżeli funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale <a, b).

(19.3.5)    Całka jako funkcja górnej granicy. Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale {a, b), to funkcja

h(x)=]f(t)dt

a

jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale <a, bj i w każdym punkcie <ego przedziału zachodzi związek h'(x)=f (x).

(19.3.6)    Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedziale <a, b>, tzn. jeżeli F'{x) =

to ma miejsce wzór

]f(x)dx=F(b)-F(a),

a

f^fzy czym oczywiście różnica F(b)—F(a) nie zależy od stałej całkowania C.

Uwaga. Prawą stronę powyższego wzoru oznacza się symbolem

[F(x)]‘ lub F(x)\^b0.

(19.3.7)    Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

b    b

J u dv=\uv\^ba— J udu.

a    a

■kst to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.