img076

76

6.4. Wykazać. że funkcja

76

f:R 3 (x ,y)

(x²4y²)ain -4-

gdy x²4y² > O,

x 4y

gdy x «» y

na w pewny* kole o środku w punkcie (0,0) obie pochodne cząstkowe, które sy nieeiygłe w punkcie (0,0) orśz nieograniczone w tej kuli. Tym nie mniej f Je»t różniczkowało* w punkcie (0,0).

6.5. Wyznaczyć pochodne częstkowe funkcji złożonych

») (x,y) —* f(x, i),

b)    (x,y,z) —* f(x,xy,xyz)

c)    (x,y,z) —^f{a,b,c), gdzie a ■ x²*y², b - x²-y², c - 2xyz.

6.6.    Niech

(*)    x² ♦ y² 4 z² - 3xyz * 0

i

f(x,y,z) • xy²z³

Wyznaczyć yj- (1,1,1), Jeśli z « z(x,y) Jeet funkcję uwikłany określony przez równanie (*) oraz    (1,1,1), Jeśli y - y(x,z) Jest fnnkcję

uwikłany określony przez równanie (*) • Wyjaśnić dlaczego otrzyaana wyniki ay różna.

6.7.    Zsatępujęc przyrost funkcji różniczkę zupełny, obliczyć przybliżony wartość

a)    11,02³ 4 1,97³

b)    0,97^1,05,

c)    ain29°tg46°.

6.8.    Wyznaczyć różniczkę zupełny funkcji uwikłanej (x,y,z) —*-u(x,y,z)

3    9    3

określonej przez równanie u 4 3(x 4 y)u 4 z • 0.

_x n    y ft

6.9.    Napisać równanie etycznej do krzywej o równaniu (—)    4 (ę)    ■ 2

w punkcie o odciętej x ■ a,

6.10.    Zbadać czy równani* x.2^V 4 x²y² 4(1- x²)ain y - 0 ma roz-więzanie y ■ y(x) przechodzęce przez punkt (0,0),

6.11.    Wykazać, że odcinak etycznej do krzywej o równaniu z²^³ 4

2/3    2/3

♦ y ■ e ' zawarty między osiami uKładu współrzędnych ma atałę długość równy a.

6.12.    Wykazać naatępujęce twierdzenie Cauchy'ego, zwane też uogólnionym twierdzeniem o wartości średniej: Jeśli funkcje rzeczywiste fig *y ciygłe w przedziale domkniętym <e,b> i różniczkowalne wewnętrz tego przedziału oraz g'(t) 4 0 dla tc(a,b), to istnieje taki punkt

%€ (a ,b), że