80678 Matem Finansowa8

178 Zastosowania teorii procentu w finansach

Przykład 5.1.13

Wykazać, że funkcja k(t)=2'¹(t+1)(t+2) jest funkcją oprocentowania jednostki kapitału. Wyznaczyć dla tej funkcji:

a)    efektywną stopę procentową i_n,

b)    efektywną stopę dyskontową d_n,

c)    procent należny od jednostki kapitału za n początkowych okresów

d)    funkcję intensywności oprocentowania kapitału,

e)    funkcję dyskontowania jednostki kapitału,

f)    dyskonto należne od jednostki kapitału za n okresów wstecz,

g)    funkcję intensywności dyskontowania kapitału.

Rozwiązanie:

Funkcja k(t) = 2'¹(t+1)(t+2) spełnia warunki funkcji oprocentowania kapitału,

ponieważ

1° k(0) = 1

2° k’(t) = t+3-2"¹> 0 dla t>0, co oznacza, że funkcja k(t) jest rosnąca w zbiorze R⁺. Wobec powyższego możemy odpowiedzieć na postawione pytania.

ad a.

Z definicji efektywnej stopy procentowej mamy (por. wzór 2.6)

.    k(n)-k(n-l)_2~¹(n + l)(n + 2)-2~¹n(n + l)_2

'^n_ k(n-l)    2^_1n(n + l)    ⁿ

Efektywna stopa procentowa jest malejąca z okresu na okres i zmierza do zera.

ad b.

Z definicji efektywnej stopy dyskontowej otrzymujemy (por. wzór 2.16)

k(n)-k(n-l)_2~¹(n+l)(n + 2)-2~¹n(n + l)_    2

^n_ k(n)    2^_1 (n + l)(n + 2)    ⁿ⁺²

Efektywna stopa dyskontowa jest również malejąca.