2 (2343)

e

1)    Dlaczego lim—= 0?

n"

2)    Wykazać, że funkcja /(z) = 0,5(Rez + Imz + z) nie jest holomorficzna na C.

3)    Znaleźć rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego równania

różniczkowegox' — x = sin/, x(0⁺} = 0, stosując przekształcenie Laplace’a i odwracając poprzez residua._

Podać przykład szeregu potęgowego zbieżnego tylko w x = 0.

2) Podać wartość całki krzywoliniowej (j>z⁴cfc po okręgu

K

K: jzj = r > 0 w zależności od liczby całkowitej k.

3) Wyznaczyć z definicji transformatę L[3^(/)] (wraz z

podaniem dziedziny)._

X}) Podać dwa dowody rozbieżności szeregu harmonicznego.

2)    Dlaczego funkcja expz jest okresową?

3)    Znaleźć rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego równania różniczkowego x' - x = t, x(0⁺ ) = 0 ..stosując przekształcenie Laplace a i odwracając poprzez splot.

,,    .r-, 2 + sin nx    . ,    ...

1)    Wykazać, że szereg 2_,-j=— J^est jednostajnie i

rtdn

bezwzględnie zbieżny.

2)    Podać taką własność hołomorficzności funkcji zespolonej, która nie zachodzi dla funkcji rzeczywistej.

3)    Wyprowadzić wzór na transformatę L [cosh 2f ].

n!

1)    Dlaczego lim— = 0?

2)    Wykazać, że funkcja /(z) =0,5 (Re z + Im z + z) nie jest holomorficzna na C.

3)    Znaleźć rozwiązanie zagadnienia Caudiy’ego równania różniczkowegox'-x = sint, x(0^ł)=0, stosując przekształcenie Laplace’a i odwracając poprzez residua

1) Podać przykład szeregu potęgowego zbieżnego tylko w x = 0.

2)    Podać wartośćcałki krzywoliniowej <^z^kdz po okręgu

K: Jzj = r > 0 w zależnoSpLój liczby całkowitej k.

3)    Wyznaczyć z definicji transformatę L[3;;(/)] (wraz z podaniem dziedziny).

1)    Podać dwa dowody rozbieżności szeregu harmonicznego.

2)    Dlaczego funkcja ekpz^jest^okresową?

3)    Znaleźć rozwiązame-^zagadnienia Cauchy’ego równania

różniczkowegox'-x^t, x(0⁺) = 0,stosując    przekształcenie

Laplace’a i odwracając poprzez splot.

v 2 + sin nx

1) Wykazać, ze szereg 2_,-j=— jest jednostajnie i

_    >i vn

bezwzględnie zbieżny. / ^

2)    Podać taką własność'hołomorficzności funkcji zespolonej, która nie zachodzi dla funkcji rzeczywistej.

3)    Wyprowadzić wzór na transformatę L [cosh 2 /].

1) Jaki przedział jest dziedziną funkcji /(x) = yj

for o

2) J2e wynosi całka    po brzegu obszaru {-bl)~ •

K ² e

f{^s)

3) Dlaczego L

\f(u)dv

dla / e OL ‘

1) Jaki przedział jest dziedziną funkcji

» (2xY

■cep /(x)=y.HL?

2) Ile wynosi całka    po brzegu obszaru (-l,l)^{1 2 3 4}?

jf(u)du

3) Dlaczego L

fi^s

dla / e OL ?

1)    r = 4 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego Y,^a„^x"

. Podać, dla jakich x ten szereg jest a) zbieżny b) rozbieżny c) jednostajnie zbieżny.

2)    Pokazać prawdziwość zdania: 3 z e C,[sinz| > 1.

1)    r = 4 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego V a_nx"

. Podać, dla jakich x ten szęFeg jest a) zbieżny b) rozbieżny c) jednostajrfte.zbieżny.

2)    Pokazać prawdziwie zdania: 3 z e C, I sin z[ > 1.

3) Obliczyć

za pomocą residuów.

3) Obliczyć L*

1

5' +■ 4.S

za pomocą residuów.

1)    Wyprowadzić rozwinięcie funkcji arctg x w szereg potęgowy wraz z podaniem maksymalnej dziedziny.

2)    Obliczyć całkę J ze~~^: dz , gdzie AB odcinek łączący ,4(0,0)

AB

i 5(0,1).

3)    Znaleźć rozwiązanie równania metodą operatorową

x” + x' = 2, x(0^T) = x' (O*) = x"(0) = 0 .odwracając residuami

1)    Dlaczego ^(-l)"~‘ ln— ■■*■ < co ?

n=l    ^

2)    Rozwiązać równanie ctg z = 1 w dziedzinie zespolonej.

3)    Podać treść twierdzenia zwanego o przesunięciu w argumencie obrazu i jego zastosowanie.

1)    Wyprowadzić rozwinięcie funkcji arctg x w szereg potęgowy wraz z podaniem maksymalnej dziedziny.

2)    Obliczyć całkę J zirf'^T"‘ dz , gdzie AB odcinek łączący .4(0,0)

AB''

i 5(0,1).

3)    Znaleźć rozwiązanie równania metodą operatorową

x” + x" = 2, x(o^ł) = x'(0^T) = x”(0) = 0 .odwracając residuami.

1

w    2    , i

2

Dlaczego YJ (~^X ^< ^{1:0 0}

3

   Rozwiązać równanie ctg z = 1 w dziedzinie zespolonej.

4

   Podać treść twierdzenia zwanego o przesunięciu w argumencie obrazu i jego zastosowanie.