img003

Zad 4*. Korzystając z definicji Cauchy’ego oraz Heinego granicy funkcji wykazać, że:

a) lim(x + l) = 0; b) lim -4—— = —; c)łim. ^ , = °°; d) lim

^x~>-² x +1    5    *->* x-l

'-1

U,

Zad. 5*. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji wykazać, że nie istnieją granice funkcji:

1    e^x -1

a) lim sin x; b) lim cos —; c) lim—■—.

*->“    >0⁺ X    *->0    -+1

e^x

Zad. 6. Czy funkcje są ciągłe w przedziale <0,2>?

x² dla 0 < x < 1

!)/(*) = ■

2 — x dla 1 < x < 2

2) /O)

12x dla 0 < x < 1 12 —x dla 1 < x < 2

Zad 5. Zbadać ciągłość funkcji. Jeżeli funkcja jest nieciągła, to określić rodzaj nieciągłości:

!)/(•*) ⁼ ~—w punkcie x₀ = 1; 2) f(x) - ^^-w punkcie x₀ = 0; 3)/(x) = j ^    ^ 0.

x + 2    x    \2 dlax = 0

- log, (x + 3) dla - 3 < x :

sinx

4 )/(*) =

d/a x ^ 0

x

; 5)/(x)

1    x = 0

| e ^x dla x ź 0 0 dla x = 0

; 6) f (x) = <

7T

2

arctgx

dla-2 < x dla x > 0

Zad 6. Dla jakich wartości A i B funkcja

7t

2sinx dlax<

1) /(*) -

Asinx + 5 dla-— < x <—;

2 2

cos x    <i/a — < X

2

2 )/(*) =

lim(2 + e ^v) Jlax = 0;

at-KT

sin5x

dla x > 0

jest ciągła w zbiorze R?

Zad 7. Uzasadnić, że podane równania mają rozwiązania we wskazanych przedziałach:

l)e^x =

1

-,1

y

stnx

;    2) l = —— + x,

2

'oAj

V 2)

; 3)lnx + 2x = l,

,1

1 ₃    7

Zad 8. Czy funkcja /(x) = ——x - sin;zx + 3 przybiera wartość — wewnątrz przedziału <-2,2>?

e ^r , x ^ 0 jjyj_{a c}iągł_a

A, x = 0

Zad 9. Czy można dobrać stałą A tak, aby funkcja f określona wzorem /(x) =