101748

Definicja Heinego i Ca uchy'ego o granicy funkcji k punkcie:

(Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech / : X —> R gdzie X C U i niech xo 6 R

ladzie punktem skupienia zbioru X Mówimy, że liczlta g € W jest granicą (io sensie Heinego) funktji

f w punkcie x*j. gdy dla każdego ciągu (x„) C X takiego, że x_n ^ xo dla n € N oraz lim x„ = xo

n—»oo

znctiodzi lim /(x_n) = g. n—oo

Zdanie "liczba g jest granicą funkcji / w punkcie x<j" zapisujemy

lim f(x) = g lub    f(x) —» g.

2—Zo    *—»Xo

Ponieważ xo jest punktem skupienia, to istnieje co najmniej jeden riąg (x„) elementów cc zbioru X \ {xq} zbieżny do xq Zatem powyższa definicja jest poprawna.

(Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech / : X —* R. gdzie X C Ri niech xo € R. będzie punktem sku)>ienia zbioru X Mówimy, że liczba g € R jest granicą (w serwie Cnuchyego) funkcji f w punkt u xo. gdy dla każdego otoczenia U(g,e) punkt u g istnieje sąśedztwo 5(xo,6) punki u xq. takie że

^x65(x₀.#>nx f(x)eU(g,e).

Inaczej mówiąc

lim /(x) = g <=> V_e>0 3_4>0 V_x€X (0 < |x - x₀| < <5 =* |/(x) - g\ < e).

Definicja funkcji ciągłej w zbiorze:

Definicja 2.1.211. Funkcjo f : X —* R gdzie X C R. jest ciągła w zbiorze X gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X.

Definicja 2.1.21. Niech X C R Punkt tq € X w którym fuukrja f : X — R nie jest ciągła nazywamy punkiem nieciągłości funkcji f.

Związek ciągłości z granicą:

(związek ciągłości z granicą). Niech / : X —• R. gdzie XcHi niech xo € X

będzie punktem skupienia zbioru X Wówczas fuukrja / jest ciągła w punkcie xo wtedy i tylko wtedy.

gdy

lim /(x) = lim f(x) = lim /(x) = /(xo). x-*0    t—r₀