CCF20121001006

Granice jednostronne funkcji w punkcie

Niech/będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie prawo- (lewo-) stronnym S⁺ (S~) punktu a:₀ .

Dcf. (Heinego): Liczbap (/) jest granicą prawo- (lewo-) stronną funkcji w punkcie .v₀, co zapisujemy

P= 1 im /(*) I = lim f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy

*-**0 V *-«ó J

A	[ lim x„	= x0 => lim f(x„)= p j
\^xnf	\w—>oo
		\
A	lim xn	= ^xo => i™ /(*«) = /]
(^v/i I	\łl—»oc	/7—KO /
		/

Definicja (Cauchy’ego): Liczbap (/) jest granicą prawo-(lewo-) stronną funkcji w punkcie x₀, co zapisujemy

/ \

, jeżeli

A V A    ]f{x)-p\<e

£>0 Ó>()    _V,;5 ^: (aq/5)

( \

A V A    f(x)-/ <£

£>0 S>0 xeS~(xQ.S)    ,

Twierdzenie: Istnieje granica funkcji/!*) w punkcie *₀ <=> •» istnieją granice jednostronne i są sobie równe. Wówczas

lim f{x) = lim f(x

x-*x„    x->xj

)= lim f{x).

Działania na granicach funkcji

lim /(x) = g, a lim h(x) = g₂

x—.►^o

lim (f(x) + h(x)) = g, + g2 ^lim (f(^x) ~ H^x)) =g\~g:

x-»;to    *-»*()

lim(/(x)-^))=g,-g₂    g₂^0:

> lim

/(*)

h(x)

g\_

g2

Af(^x)*y₀ a lim f(x)=y₀ a lim h(y) = g

xeX    -Y-KT.)    ,' ->.vo

lim h(f(x))= lim h(y)=g

x->x₀    y^>y₀

Warto zapamiętać, że 1

lim 1 +

x—>±ooy    X

lim(l + x)’ =e

jc->0

.. sinx _t lim-42= 1