029

DEFINICJA

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a;oc). Funkcja / ma w oc granicę niewłaściwą oo (lim f(x) = oo), jeśli dla każdego ciągu (x_n) roz-

X—>00

bieżnego do oo, o wyrazach należących do dziedziny funkcji /, ciąg (f(x_n)) jest rozbieżny do oc.

Przykład 3

Funkcja f(x) = \fx, (wykres obok) ma w oc granicę równą oo.

Ćwiczenie 3

Sformułuj definieję:

a) lim f(x) = —oc, b) lim f(x) — oo,

x—>oo '    X—> —OC

Ćwiczenie 4

Xa podstawie wykresu funkcji / określ granice: lim j(x) oraz lim f(x).

x—>oo    x—>—oo

f(x) - x    b) f{x) = X²    C,) f(x) = X³

TWIERDZENIE

lim =

lim -ęćć = —

X—— oo

Dla ustalonego n G N₊: lim xⁿ = OC'

x—»oo

lim \fx = 'OO

x—>oo

oó dla, n parzystych —oc dla n nieparzystych oo dla n nieparzystych

Ćwiczenie 5

Oblicz granicę. „10

3\2

lim

-OC' X’-

b) lim

X—* — oc    X

c) lim —7=

x—*oc \/X

"WIERDZENIE

Jeśli lim f(x)    =    oo    i    lim g(x)    =    a    > O,    to    lim    (f(x)    ■    g(x))    = oo.

x—hx>    x—>oo    *    X—HX>

Jeśli lim /(:/;) =    oo    i    lim (?(#) = a < O,    to    lim (/(x) • g(x)) =    —oo.

x—»oo *    x—*oo    x—>oo

Jeśli lim f(x) —    —oo    i    lim ę(x) = a > O,    to    lim (f(x) • g{x)) =    —oo.

X-*OC '    X—>OC    X—tOO

Jeśli lim f(x)    —    —oo    i    lim g(x)    =    a    < O,    to    lim    (f(x)    -    g(x))    = oo.

5.0. Granica funkcji w nieskończoności 275