6830718822

str 1

Wl/2

Rozwiąz vw aiiic równań nieliniowych

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a.bj. Zadaniem jest znalezienie takiego a z tego przedziału, że f (a) = 0. Oczywiście takich wartości a może być wiele, Numerycznie, takie zadanie, rozwiązuje się zwykle metodami iteracyjnymi, tj. tworzymy ciąg kolejnych przybliżeń x_k, któiy zbiega do rozwiązania a. Z grupy tych metod zostaną omówione metody :

metoda bisekcji (połowienia) metoda siecznych metoda stycznych (Newtona)

Bardzo ważną rolę, w metodach iteracynych. odgrywa wykładnik zbieżności metody. Jest to największa liczba p (p > 1) taka. że

gdzie e,^ = a - x_k , natomiast C jest stalą nieujemną zależną zwykle od funkcji f (lub jej pochodnych ). Ciąg (x_k) jest tym szybciej zbieżny do

pierwiastka a im większy jest wykładnik zbieżności i im mniejsza jest stała C. przy czym p odgrywa tutaj istotniejszą rolę.

Jeżeli lej^l < 10^-s to |e_k+]| < C IO” ^ps

Jeżeli metoda iteracyjna jest zbieżna, to w przypadku p = 1 mówimy o zbieżności liniowej, natomiast dla p > 1 o zbieżnościponadłiniowej._

Liczbę a nazywamy ///-krotnym pierwiastkiem równania f (x) = 0, gdy

f(x) = (x - a)^m g(x),

przy czym g(a) * 0.

Mówimy, że a jest pieiwiastkieinpojedynczym, jeżeli m = 1;

- wielokrotnym, jeże li m> 1.

Założymy, żel'jest funkcją ciągłą w przedziale [a.bj oraz f(a) f(b) < 0 (f zmienia znak w [a.bj). Przy tych założeniach istnieje co najmniej jedno oc, ( a < a < b ), że f (a) = 0.

Metoda bisekcji (połowienia)

Opis metody

3 ~t“ b

(a)    dzielimy przedział [a.bj na połowę punktem x, =-,

2

(b)    jeżeli f (xj) = 0. to x, jest pierwiastkiem i metodę kończymy.

(c)    w przypadku f(x₁) ^ 0 wybieramy ten z podpizedzialów [a, x₎J lub

[xj. bj , w któiym funkcja zmienia znak.

(d)    powtarzamy a), b), c) dopóki nie otrzymamy żądanej dokładności e (tj. gdy długość aktualnego przedziału jest nie większa od e).