108429

Bunaamik układu równań mtyyuflanaaiuii

Niech będzie dany układ s równań liniowych z s niewiadomymi o niezerowym wyznaczniku podstawowym. Zapiszemy go w postaci uproszczonej:

XI X2...Xi...Xs 1/ al b2—i 1 —sl 11/11 a2 b2...i2...s2 12/12

...................../...

as bs...is...Ss ls/Is(l)

Będziemy chcieli obliczyć i-tą niewiadomą układu korzystając z pojęć wyznacznikowych. W tym celu pomnóżmy stronami pierwsze równanie przez kofaktor II elementu i, drugie przez kofaktor 12 elementu i2,..., wreszcie s-te równanie przez kofaktor Is oraz przekształcone tak równanie zsumujemy. Otrzymamy jedno równanie:

[a I]xl+[b I]x2+...+[ Ii]xi+...+[s I]+Q I]=0 (2)

Które spełniają niewiadome układu wyjściowego, gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie nie zmienia wartości niewiadomych.

Symbole siimowe Gaussa, np. [a I]=£ aqbq=al I+a2 12+ ...+as Is (3)

Wprowadzono dla uproszczenia zapisu.

Z twierdzenia głównego wiemy, że iloczyn i-tej kolumny tabeli wyznacznika przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów jest równy wartości tego wyznacznika. Oznaczając przez d wartość wyznacznika podstawowego możemy więc napisać:

[il]=d (4)

Z tego samego twierdzenia wiemy, że pozostałe kolumny wyznacznika podstawowego mnożona przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów dają zera czyli:

[a I]=[b I]=...=[s I]=0 (5)

Równanie (2) przyjmuje więc postać:

[il]xi+[ll]=0 (6)

Skąd xi= - [1 I]/[i I] (7) albo, po podstawieniu (4) xi= - [11]/d    (8)

Wynika stąd, że aby obliczyć i-tą niewiadomą należy iloczyn kolumny wyrazów wolnych oraz i-tej kolumny tabeli kofaktorów podzielić przez wartość wyznacznika podstawowego i zmienić znak wyniku.

Jeżeli wyrazy wolne leżą z prawej strony znaku równości - nie zmieniamy znaku ilorazu