img021 (46)

25

układu m równań liniowych z n niewiadomymi należących do podprzestrzeni liniowej rozwiązań. Zbiór rozwiązań może być pusty (układ równań może być sprzeczny). Tak rozszerzony algorytm eliminacji Gaussa jest przedstawiany w literaturze jako element tak zwanej metody tablicowej [6]. Metoda tablicowa rozwiązywania układów równań algebraicznych obejmuje swoim zakresem zastosowań najszerszą klasę równań liniowych.

2.2. Metoda dekompozycji LU

Modyfikacją metody eliminacji Gaussa jest metoda wykorzystująca bezpośrednio dekompozycję macierzy współczynników układu równań liniowych na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej L i trójkątnej górnej U.

Niech A będzie daną nieosobliwą macierzą n x n-wymiarową o elementach będących liczbami rzeczywistymi. Ciąg operacji elementarnych etapu eliminacji w przód algorytmu eliminacji Gaussa można rozważać jako ciąg działań na wierszach macierzy A niezależnie od tego, czy jest ona macierzą współczynników pewnego układu równań liniowych, czy też występuje w opisie matematycznym innego zagadnienia. Przy założeniu, że dokonano uprzednio niezbędnej permutacji wierszy danej macierzy A, tak że wszystkie kroki etapu eliminacji w przód są wykonalne, macierz A zostaje przekształcona w wyniku realizacji tego etapu algorytmu Gaussa w macierz trójkątną górną. W przypadku ciągu operacji elementarnych, który opisano w podrozdziale 2.1 w związku z realizacją przekształcenia pewnego zadanego równania

Ax = b    (2.33)

do postaci równoważnego układu równań (2.27) macierz A zostaje przekształcona w macierz trójkątną górną z jedynkami na głównej przekątnej. Macierz ta oznaczona w dalszym ciągu symbolem U ma postać

	1	a(0 “12	aM . “13	• flWl “1 n
	0	1	aW . “23	■ a^[2) ^u2 n
u =	0	0	1 •	■ “3 n
	0	0	0 ■	• 1

(2.34)

Elementy macierzy U są otrzymywane zgodnie ze wzorami podanymi w (2.24) i w (2.25). Niech L oznacza następującą macierz trójkątną dolną której elementy są otrzymywane zgodnie z formułami obliczeniowymi prowadzącymi do kolejnych postaci (2.9), (2.11), *2.13), (2.15) i (2.16) w kolejnych krokach etapu eliminacji w przód algorytmu Gaussa dla równania (2.33)