SCN
09

Etap 2

Wyznaczyć bazę układu równań liniowych AX = b, czyli następujący podukład rozpatrywanego układu:

AX = b

gdzie:

A=A_rxn, b = b_rxn

Uwagi

1.    Bazę AX = b układu równań liniowych AX = b nazywamy również układem zredukowanym lub rdzeniem układu równań liniowych.

2.    Układ zredukowany złożony jest z niektórych równań wyjściowego układu równań liniowych AX = b.

3.    Wszystkie równania układu równań liniowych AX = b są kombinacją liniową równań bazy.

4.    Zbiór rozwiązań układu bazowego jest identyczny ze zbiorem rozwiązań układu wyjściowego.

5.    Aby wyznaczyć rozwiązania dowolnego układu równań liniowych wystarczy rozwiązać układ bazowy.

Etap 3

Wyznaczyć i ustalić układ niewiadomych bazowych, czyli takich niewiadomych, których kolumny współczynników tworzą bazę układu wektorów kolumnowych macierzy A układu zredukowanego, pozostałe niewiadome będą nazywane niewiadomymi swobodnymi lub nie-bazowymi.

Uwagi

1. Niewiadomych bazowych jest zawsze tyle ile wynosi rz A, czyli r. 2 Niewiadomych niebazowych jest zawsze n - r.

3.    Liczbą n - r nazywamy stopniem swobody układu równań liniowych AX = b.

4.    Wyboru niewiadomych bazowych można dokonać na wiele różnych sposobów, a maksymalną liczbą różnych układów niewiadomych bazowych wyznaczamy z poniższego wzoru:

fnV_£l_ l^rJ r!(n-r)!

Etap 4

do następującej,

Należy przekształcić układ zredukowany AX = b tzw. postaci bazowej układu zredukowanego:

A_bX_b+A_nX_n= b

czyli:

A_BX_B - b-A_nX_n

gdzie:

X _B - wektor niewiadomych bazowych,

X _N - wektor niewiadomych swobodnych lub niebazowych,

A _B - macierz, której kolumny są współczynnikami przy niewiadomych bazowych,

A _N - macierz, której kolumny są współczynnikami przy niewiadomych niebazowych,

5    - wektor wyrazów wolnych układu zredukowanego.

Twierdzenie

Dla każdej bazowej postaci układu zredukowanego macierz A _B jest nieosobliwa, czyli zachodzi:

detA_B *0

a to oznacza, że bazowa postać układu zredukowanego jest układem Icramerowskim. zc względu na niewiadome bazowe

87