Rozwiazywalność układu równań liniowych Pozostaje do wyjaśnienia kiedy istnieje jedno (lub więcej) rozwiązanie układu równań liniowych (13) gdzie ilość niewiadomych jest z reguły inna niż ilość równań. Tutaj przychodzi nam w sukurs pojęcie liniowej niezależności wektorów oraz pojęcie rzędu macierzy.
Powiemy że wektor e jest liniowo zależny od wektorów bi,b2,...,bk Jeśli istniejąta-kie liczby Al,A2,...,Ak że zachodzi równość e= /Ł,Z>, + A2b2 + ... + Akbk. Równanie (16)
0 |
3 |
1 |
1,5 | ||||
pokazuje nam że wektor |
0 10 |
jest liniowo zależny od wektorów |
2 1 |
■ |
1 1 |
• |
0,5 0 |
Powiemy że wektory sa niezależne jeśli żaden z nich nie jest zależny od pozostałych. Najbardziej prostym przykładem liniowo niezależnych wektorów jest układ wektorów które mają jedną współrzędną równą 1 zaś pozostałe współrzędne są równe zero, np.
1 |
0 |
0 |
0 | |||
0 |
1 |
0 |
0 | |||
0 |
0 |
1 |
0 | |||
0 |
0 |
0 |
1 |
Zadanie do domu: udowodnij iż powyższe wektory są liniowo niezależne!
au an ... a.„
Rząd macierzy A =
oznaczany przez rz(A), jest to maksymal
na ilość liniowo niezależnych kolumn macierzy A.
Fakt 4 (a) rz(A) = maksymalnej ilości liniowo niezależnych wierszy.
(b) Macierz kwadratowa stopnia k ma rząd równy k wtedy i tylko wtedy gdy det(A)*0.
Przykład 5. Oblicz rząd macierzy C=
'3
2
1
1
1
1
1,5 |
0' |
0,5 |
0 |
0 |
10 |
. Po pierwsze, rz(C)< 4
ponieważ macierz C ma tylko 3 wiersze, zaś na mocy faktu 4(a) rząd każdej macierzy