8857686333

Rozwiazywalność układu równań liniowych Pozostaje do wyjaśnienia kiedy istnieje jedno (lub więcej) rozwiązanie układu równań liniowych (13) gdzie ilość niewiadomych jest z reguły inna niż ilość równań. Tutaj przychodzi nam w sukurs pojęcie liniowej niezależności wektorów oraz pojęcie rzędu macierzy.

Powiemy że wektor e jest liniowo zależny od wektorów b_i,b₂,...,b_k Jeśli istniejąta-kie liczby A_l,A₂,...,A_k że zachodzi równość e= /Ł,Z>, + A₂b₂ + ... + A_kb_k. Równanie (16)

	0		3		1		1,5
pokazuje nam że wektor	0 10	jest liniowo zależny od wektorów	2 1	■	1 1	•	0,5 0

Powiemy że wektory sa niezależne jeśli żaden z nich nie jest zależny od pozostałych. Najbardziej prostym przykładem liniowo niezależnych wektorów jest układ wektorów które mają jedną współrzędną równą 1 zaś pozostałe współrzędne są równe zero, np.

1		0		0		0
0		1		0		0
0		0		1		0
0		0		0		1

Zadanie do domu: udowodnij iż powyższe wektory są liniowo niezależne!

a_u a_n ... a.„

Rząd macierzy A =

oznaczany przez rz(A), jest to maksymal

ni ^am2 ••• ^an„

na ilość liniowo niezależnych kolumn macierzy A.

Fakt 4 (a) rz(A) = maksymalnej ilości liniowo niezależnych wierszy.

(b) Macierz kwadratowa stopnia k ma rząd równy k wtedy i tylko wtedy gdy det(A)*0.

Przykład 5. Oblicz rząd macierzy C=

'3

2

1

1

1

1

1,5	0'
0,5	0
0	10

. Po pierwsze, rz(C)< 4

ponieważ macierz C ma tylko 3 wiersze, zaś na mocy faktu 4(a) rząd każdej macierzy