3860644214

Metoda Gaussa

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą Gaussa:

1.    Zapisuję układ równań w postaci macierzy współczynników,

2.    Przekształcam wiersze macierzy za pomocą operacji elementarnych, czyli

-    dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego lub nie przez liczbę,

-    pomnożenia dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,

-    zamiana miejscami dwóch wierszy.

Mogę też przestawiać kolumny macierzy, ale muszę pamiętać, że każda kolumna przypisana jest do określonej niewiadomej.

3.    Przekształcania mają na celu otrzymanie „macierzy schodkowej” czyli spełniającej warunki

-    na schodkach są tylko liczby różne od zera

-    pod schodkami są tylko zera

Przykłady:

X	y	z	t			X	y	2	t	s			Xi	X2	^3	Xą
rl	4	5	-7	2]		r2	3	1	0	7	-n		r^4	6	1	3	^41
0	3	2	1	3		0	i	5	0	3	4		0	3	0	8	2
0	0	4	6	5		0	0	3	9	6	5		0	5	6	1	3
Lo	0	0	8	6 J		Lo	0	0	8	3	5 J		0	0	0	G	9
													Lo	0	0	0	oJ

4. Z otrzymanej macierzy schodkowej układam równania zaczynając od ostatniego wiersza i obliczam niewiadome x, y, 2,. .. Koniec. Mam rozwiązany układ równań.

Przykład:

x + 2y — z = 5 < 3x 4- 4y + 2 = 9 2x — 2y + 3z = — 1

Macierz współczynników:

	'1 2 -1	5 '
3w\	3 4 1	9
2w\	2-2 3	-1

Od drugiego wiersza odejmuję pierwszy wiersz pomnożony przez 3. Od trzeciego wiersza odejmuję pierwszy wiersz pomnożony przez 2.

	"1	2	-1	5
	0	-2	4	-6
-1-	0	-6	5	-11
przez —1, dzięki		czemu łatwiej w
	'l	2	-1	5 "
	0	-2	4	-6
+3W2	0	6	-5	11

Do trzeciego wiersza dodaję drugi pomnożony przez 3.

X	y	2
'1	2	-1	5 "
0	-2	4	-6
0	0	7	-7

Z macierzy współczynników z powrotem układam równania i je rozwiązuję.

Iz = -7 / : 7	—2y -f Az = —6	lx + 2y — Iz =5
z =-l	—2y + 4(—1) = —6	s + 2-1 —(-1) = 5
	-2y - 4 = -6	x + 3 =5
	—2y = -2 / : (-2)	x =2
	y = i
( x = 2
Odp. < y = 1
(z = -l	Zadania + Rozwiązania