108431

Tvv. o układach równoważnych

Jeśli tabelę układu n równań liniowych z n niewiadomymi pomnożyć przez tabelę niezerowego wyznacznika stopnia n stosując mnożenie w sensie Cauchy-Binet’a, otrzymuje się tabelę układu równoważnego danemu.

Niech będzie dany układ równań liniowych z n niewiadomymi oraz tabela ó stopnia n o niezerowym wyznaczniku. xl x2...xn 1 al bl...nl 11 a2 b2...N2 12 an bn...Nn ln

Pomnóżmy stronami pierwsze równanie układu przez a, drugie przez a2,..., n-te przez an i zsumujemy. Otrzymamy pierwsze równanie nowego układu, którego współczynniki zapisujemy stosując symbol sumowy Gaussa: [aa]xl+[ba]x2+...+[na]xn+[la]=0 (2)

Analogicznie mnożąc równania stronami przez pl,p2,...,pn,...,ril,n2,...,ipi i sumując otrzymujemy drugie, trzecie,..., n-te równanie nowego układu, który ostatecznie przyjmie postać:

[aa]xl+[ba]x2+.. .+[na]xn+[la]=0 [ap]xl+[bp]x2+.. .+[np]xn+[lp]=0

[ar|]xl+[br|]x2+.. .+[nrj]xn+[lr|]=0    (3)

Układ (3) ma to samo rozwiązanie co układ (1), gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Łatwo też zauważyć, że tabela tego układu jest iloczynem Cauchy - Bineta tabeli //a// tego układu przez tabelę //Ó//.