Kroneckera Capelliego

Mamy dany układ m równań liniowych o n niewiadomych ■■■,*„

r    _u

a\\X\ + <312^2 +. ..+a\„X„ = b 1 Cl2\X\ + a₂2X2 +■ ■ ■ +a_2nx_n = b₂

ci_m\X\ + a_m2x2 +. ..+a_m„x„ = b_m Macierz złożoną ze współczynników układu (1)

<311    <312    •••    <3l„

,    <321    <322    • • •    <32o

&m\    & ml • • • &mn

nazywamy macierzą główną(lub macierzą współczynników). Macierz

ci\\ a\2 ... <3i„ b\

<321 «22 ••• Cl_2n b₂ dm\ Cl ml • • • Clmn bm

powstałą przez dołączenie doą kolumny wyrazó wolnych, nazywamy macierzą uzupełnioną.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Układ (1) posaiada rozwiązanie w tedy i tylko wtedy, gdy

r(A) = r(C) = k Niech k = r(A) = r(C)

-    Jeśli k= n, to układ ma dokładnie jedno rozwiąznie

-    Jeśli k < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - k parametrów

-    Przypadek k > n nie może zajść, gdyż

r(A) < min{m,n} ^ ⁿ