3582419665

1. Rozwiązać układ równań liniowych

2

1

5

3

{x + 2y — z + 3t + w 4x — y + z — 2t + w 6x + 3y — z + 4t + 3 w — 2x + hy — 3z + 8t + w

Dowód.

1.1 Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ równań liniowych z n niewiadomymi postaci AX = B może nie posiadać rozwiązań albo mieć dokładnie jedno rozwiązanie albo też mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Decydują o tym rzędy macierzy A układu oraz jego macierzy rozszerzonej [A\B] i wtedy odpowiednio mamy: rzA ^ rz[A\B] albo rzA = rz[A\B] = n albo też rzA = rz[A\B] = r < n.

W ostatnim przypadku zbiór rozwiązań zależy on n — r parametrów.

1.2 Przeprowadźmy najpierw wstępną analizę macierzy rozszerzonej [.4|13] oraz macierzy współczynników A układu pozwalającą na ustalenie rzędów.

Wykorzystamy twierdzenie mówiące, że bez zmiany rzędu macierzy można w niej zamieniać wiersze (kolumny), mnożyć ustalony wiersz (kolumnę) przez stałą różną od zera oraz do ustalonego wiersza (kolumny) dodać inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez stałą.

Ponadto rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli skreślimy w niej wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer lub też jeden z dwóch wierszy (kolumn) równych lub proporcjonalnych.

Również transportowanie macierzy nie wpływa na jej rząd.

Stosujemy fragment algorytmu Gaussa otrzymując

rz

1

4

6

-2

2

-1

3

5

-1

1

-1

3

3    1 -2 1

4    3 8 1

2

1

5

3

(wiersz2 — Awierszi, wiersz3 — 6wiersz\, wiersz4 + 2wiersz\)

rz

rz

■ 1	2	-1 3	1	1 2	'
0	-9	5 -14	-3	-7
0	-9	5 -14	-3	-7
0	9	-5 14	3	1 7	~
1	2	-1 3	1	1 2
0	-9	5 -14	-3	-7
otzymanej		postaci wy	nika t	eż, że rzA
wymiaru 2x2 skada			się z	elementów
drugim wierszem, tzn. za				minor niezi

= 2.

przyjmujemy

1 2

4 -1

Równania, których współczynniki są poza tym minorem można odrzucić, jako liniowo zależne od pozostałych równań (tzn. równanie trzecie, czwarte i pąte, bo poza minorem jest. trzeci, czwarty i piąty wiersz).

Zmienne, którym odpowiadają współczynniki poza elementami tego ininora, (tzn. współczynniki trzeciej, czwartej i piątej kolumny ), przyjmujemy za parametry

2 = 71, t = 72, w = 73, gdzie 71,72,73 €

Mamy więc układ równań.

f x + 2 y - 71 + 372 + 73    =    2

| 4x - y + 71 — 272 + 73    =    1 ’

gdzie 71,72,73 € R. Mamy więc układ Cramera:

f X + 2y = 2 + 71 - 372 - 73 | 4x — y = 1 — 71 + 272 - 73 ’

gdzie 71,72,73 € R. Stosując wzory Cramera otrzymujemy.

x =

2+71-372-73 2		1 2+71-372-73
1-71 + 272-73 -1		4 1-71 + 272-73

> y =

1 2 4 -1

1 2 4 -1

Skąd

X = i - hi + ?72 - 173, ,y = l + l 71 - ^72 - 573, gdzie 71,72,73 € R-

□