s142 143

142

Znaleźć takie wartości parametru k, dla których dany układ równań liniowych ma więcej niż jedno rozwiązanie:

x + 3y — z = — 2

101.

(k² — l)y — kz = 2 (1 — k²)y + z = —2 k x 4- (4 - k²)y — -2 -2k

102.

x + 2y + z = — 1 —x + (k — 2)y + kz = —k + 1 2ky + (6k 4- 3)z = 8k¹ . x + (2 — fc)y — kz = — 1 4- fc

103.

104.

a; + 2/ — 3z = —1 fcy - 4z — 0

2x + (k + 2)y — 10 z = —2 —x + (2fc — l)j/ 4- (2/c — 6)2 = 2fc² — k 4-1

xi 4- x₂ 4- x₃ - xą = 1 x\ — x% + 2xą = 2 2xi 4- 3x2 4- xą — -1 —4xi — 4x2 — 2x3 4- xą = k

Odpowiedzi

1. x = 2, y = 5    2. x = 0, y = 4, z = 2

3. xi = 1, X2 = 2, X3 = 3, xą = 4

4. xi = 2-/3, X2 = 1 — a + 4/3, X3

5. x = —1, y = 2

7. x = 2, y = 1, z = —3

9. x = —

11. 2

13

10’

_u= 16

»    5 ’

Z =

11

2

a, xą = (3, a, (3 dowolne parametry 6. x = 2, y = 0, x = — 1 8. x = 1, y = 2, z = -1 10. Xi = 1,X2 = 0, X3 = — 1,X4 = 0

13. 2 15. 2 17. 3

12. 1 14. 1 16. 3

18. 2

21. 2    22. (a) 2,    (6) O

23.    i?(^4) = R{A_h)    =    2    => jedno rozwiązanie: x    = 1,    z/    =    2

24.    i?(ył) = R(Ab)    =    3    => jedno rozwiązanie: x    = 2,    y    =    1,    z =    3

25.    #(ył) = R{Ab)    =    2    =>• jedno rozwiązanie: a:    = 1,    y    =    |

26.    i?(^4) = R{Ab)    =    3    => jedno rozwiązanie: x    = 1,    y    =    2,    z =    ^

27.    i?(.4) =    = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym

parametrem: x = a + 1, y = a, z = 1

28.    R(A) = R(Ai,) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: x = 3a + 2, y = a, z = 0

29.    R(A) — R(Ai,) = 3 =t> jedno rozwiązanie: x — 2, y = 1, 2 = 3

30.    /?(>!) = R(A_b) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: x₄ = —2a + 1, x% = 3a, X3 = a

31.    R{A) = 2, R{A_b) — 3 => układ nie ma rozwiązania

32.    R{A) = 2, R(A_b) = 3 => układ nie ma rozwiązania

33.    R{A) — R(Ab) = 3 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: x₄ — —2a + 3, ar-2 = a, 13 = 2, x₄ = 1

34.    R(A) = R(A_b) = 3 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: Xi = |a — X2 = §a 4-1, X3 = |q + 2, x₄ = a

35.    = R(A_b) = 1 => nieskończenie wiele rozwiązań z trzema parametrami: Xi = a - 2/3 + 37 + 1, x₂ = a, X3 = /3, x₄ = 7

36.    R(A) = R(A_b) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami: Xi = 2a, X2 = a, X3 = /3, x₄ = /3

37.    i?(ył) = R{A_b) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami: x\ — -2a + |/3 + X2 = a, x₃ = |/3 + |, x₄ = /3

38.    R{A) = R{A_b) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z trzema parametrami: Xj = §a — 2/3 + j|7 + |, X2 = a, X3 = /3,

2:4 = -§7 - 5, *5 = 7

39.    R(A) = R(A_b) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z trzema parametrami: x₄ = 2a — /3 — 7 + 2, x₂ = 3a + /3 — 37 + 1, 13 = a, x₄ = 0, x₅ = 7

40.    R{A) = R(Ai,) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z czterema parametrami: x₄ = —2a + 3/3 — 7 + 3ń, X2 = a, X3 = /3,

x₄ = -27 - ń, x₅ = 7, x₆ = <5

41.    f?(.4) H(Ab) = 2 => nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrom; X| = —3a, X2 = 0, 13 = a, a / 0