006 (44)

Przykładowe zadania (poziom rozszerzony):

12. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie |,r- 2| +1* + 3| = p ma dokładnie dwa rozwiązajiia.

„    , , . . -Ja'-6a + 9 \la' -4a + 4

13.    Wykaż, że dla a e (2,3) zachodzi rownosc---+---= 2.

3-a    a-2

14.    Dane jest równanie x² + bx + c = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b oraz c tak, by były one rozwiązaniami danego równania.

15.    Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: g(x) = ax + b i h(x) = bx + a. Wiadomo, że funkcja g jest rosnąca, a funkcja h malejąca.

a)    Wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji.

b)    Oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i b są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi Ox.

16.    Dany jest ciąg (a,,) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej ;i suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa ^-(7ir -n). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (o„) jest ciągiem arytmetycznym.

17.    Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Dane są: \AB\ = 6, |CD| = 2 oraz obwód trójkąta SCD równy ^/^8 . Oblicz obwód trójkąta SAB.

18.    W pewnym trapezie kąty pizy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary a oraz 90 +a. Jedno z ramion tego trapezu ma długość i. Wyznacz różnicę długości podstaw tego trapezu.

19.    Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są |5C| = u, \CD\ = b, \<DAB\ = a. Wyznacz długość przekątnej BD.

~~—- 20. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM.

21. Ze zbioru liczb {1, 2,...,2« + 5} wybieramy jednocześnie dwie liczby. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak aby otrzymać dwie liczby takie, że:

a)    ich różnica będzie liczbą parzystą,

b)    suma ich kwadratów będzie liczbą podzielną przez cztery?

11-58 Zad.l (4pkt)

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj wykres funkcji:

;(-2,3)u(3,oo).

.. . Vx² + 4x + 4 V9-6x + x¹

f(x) =-------, gdzie

x+2    x-2

Zad.2 ( 4pkt)

W trapez prostokątny można wpisać okrąg. Jedna z jego podstaw ma długość a, druga zaś jest trzy razy dłuższa. Oblicz pole trapezu oraz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. Zad. 3 (5pkt)

2 — x

Funkcja f(x) =-przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy

x + b

X 6 (- 00,-5)lJ (2,00).

a)    Oblicz b.

b)    Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.

c)    Wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja f osiąga wartości niewiększe niż

.    3x + 8

funkcja g(x) =--.

•c + 5

Zad.4 (6pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi i siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Zad.5 (5pkt)

Kąt ostry równoległoboku ma miarę 30 . Odległości punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od jego boków są odpowiednio równe 2 oraz 6. Oblicz pole równoległoboku i długość jego krótszej przekątnej.

Zad.6 (3pkt)

Dla jakich wartości parametru a, wielomian lV(x) = x³ -(2sin4a);c² + 3x - sin 4cr - 5 jest

podzielny przez dwumian (x-2)?

Zad.7 (5pkt)

Długości boków trójkąta a, b, c (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyraź w procentach, jaką część wysokości trójkąta poprowadzonej na bok długości b stanowi promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zad.8 (6pkt)

a)    Dla jakich wartości parametru m równanie x²+y²-2mx+2m-l=0 opisuje okrąg? Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.

b)    Dla jakich wartości parametru m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu x=4? Zad.9 (5pkt)

W prawidłowym graniastosłupie trójkątnym, pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta a nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

Zad. 10 (4pkt)

Wielokąt wypukły ma n wierzchołków (n > 3 i n e JV₊), spośród których losujemy jednocześnie dwa. Wyznacz n wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków

4

wyznaczających przekątną tego wielokąta jest mniejsze od — .

Zad.l 1 (3pkt)

Wiadomo, że liczba a jest rozwiązaniem równania — + x = 5, gdzie x * 0. Nie wyznaczając a, oblicz wartość wyrażenia — + a³.

a'