124845

Zadanie 7. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru c € C dla których formy her-mitowskie wyznaczone przez macierze hermitowskie

a)

b)	1 c ć 1	c)

-i 2i 1 c ć 1

d)

1    -2«    2i

2t -sp c -2» ć 1

są dodatnio określone

Zadanie 8. Dowieść, ze dowolną macierz kwadratową można przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej i skośmesymetrycznej

Zadanie 9. Niech .4 € R"^xn bidzie macierzą symetryczną, dodatnio określoną Spraw dzić, czy odwzorowanie 5 R" x R" - K określone wzorem s(x,y) = x^TAy jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R"

Zadanie 10.* Niech A € Cⁿ*ⁿ będzie macierzą hermitowską, dodatnio określoną Sprawdzić, czy odwzorowanie s C" x C" — C określone wzorem $ (x,y) = x* ,4y jest iloczynem skalarnym w przestrzeni C" ^{1 2}

Zadanie 11.* Niech .Y będzie przestrzenią wektorową wyposażoną w iloczyn skalarny (•, •) Niech Jj,    € X Uzasadnić równoważność

/1,    ,/„- liniowo niezależne odetC^O,

gdzie G = [9ij]ⁿt4=l ^ [{/ł,/i)]_fj=i ²

Zadanie 12. Niech i e R", .4 6 R’^,x" Ni_ech x — x^TAx będzie formą dodatnio określoną Pokazać, ze > 0, » = 1,    , n Czy istnieją podobne warunki dla

form ujemnie określonych (pólokreślonych)⁷

Zadanie 13. Pokazać, ze suma współczynników macierzy symetrycznej dodatnio określonej jest liczbą dodatnia Czy istnieje podobna zależność dla macierzy ujemnie określonych (półokreślonych)?

Zadanie 14. Niech x € R", .4 € R^,,xn A = A^T Niech x —* x^TAx będzie formą kwadratową dodatnio określoną Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a € R, dla których forma kwadratowa

x -* x^T (/I + al)ⁿ x, dla n e N

jest również dodatnio określona

2

1

¹ Por Zestaa- ? , Zadanie 11

2

Macieri [</i./j)]"j₌i to macier* Gram ma