3582326455

W8/9

str 1

Całkowanie numeryczne

Całkowanie funkcji jednej zmiennej

Wprowadzenie

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a,b] i niech I(f) oznacza całkę oznaczoną Riemanna funkcji f na [a,b], z funkcją wagową p , tzn.

b

1(0 =

p(x)f(x) dx

a

gdzie funkcja p jest nieujemna na przedziale [a,b], zeruje się co najwyżej w skończonej liczbie punktów i jest całkowalna.

Do przybliżonego obliczania całki 1(0 będziemy stosować wzory, zwane kwadraturami. postaci

n

S(f) = ^ A|t'f(^xk) ’ a < x_k < b

k =o

przy czym współczynniki A_k nie zależą od funkcji f. Oczywiście Xj * xj dla i * j.

Współczynniki A_k i punkt>' x_k nazywamy odpowiednio współczynnikami i węzłami kwadratury' S. Błąd przybliżenia całki 1 kwadraturą S oznaczamy jako E(0 -1(0 - S(f) •

Kwadratura S, przy ustalonym n, ma 2n+2 parametry (n+1 współczynników i n+1 węzłów). Aby je wyznaczyć, nakłada się na kwadraturę różnego typu warunki. Szczególnie często rozważanym warunkiem jest żądanie zgodności kwadratury z całką dla wielomianów.

Mówimy, że kwadratura S jest rzędu r(r> l), jeżeli

a)    1(W) = S(W) dla wszystkich wielomianów W stopnia mniejszego niż r.

b)    istnieje wielomian W stopnia r taki, żc I(W) * S(W) -

Jednym ze sposobów otrzymywania kwadratur S jest zastąpienie w całce I funkcji f funkcją interpolującą F. Wtedy

■b

a

gdzie funkcja interpolująca F jest np. interpolacyjnym wielomianem czy interpolacyjną funkcją sklejaną dla funkcji f. Jeżeli F jest wielomianem interpolacyjnym , to S nazywamy kwadraturą interpolacyjną.

Niech F = L_n będzie wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a dla funkcji f na węzłach x₀, x,,...., x_n. Zapiszemy wielomian L„ w postaci Lagrangc'a (patrz W5)

U

k =0

Ił

p =0(p*k)