0133

134

II. Funkcje jednej zmiennej

Niech więc dla pewnego x₀ funkcja ta będzie różna od zera. Podstawiając w (B) y=x₀—x, otrzymujemy

/(■*)/(* o -*) =f(x o) # 0,

skąd widać, że funkcja /(x) jest różna od zera dla wszystkich x. Co więcej, zastępując w (B) * i y przez ix, znajdujemy:

Xx)=imxn²,

czyli funkcja f(x) jest wszędzie dodatnia.

Posługując się tą uwagą, logarytmujemy równość (B), np. przy podstawie naturalnej e:

ln/(x + y) = ln/(x) + lnf(y).

Jeżeli przyjmiemy

$»(x)=ln/(x),

to funkcja ę(x) jest funkcją ciągłą (jako superpozycja funkcji ciągłych, [73]) i spełniającą warunek:

<f>(x~y) = <fi{x)-\ę(y),

analogiczny do warunku (A). Mamy więc koniecznie

ę{x)=\nf{x) — cx (c=const),

skąd

r/ \ cx x

f(x) = e =a

(jeżeli położyć a = e^c), cbdo.

2° Jeżeli

(c)    /(x)=log„x (a>0, af=l),

to dla dowolnych dodatnich x i y jest

(C)    f(xy)=f(x)+f(y).

Jest to zapis prawa logarytmowania iloczynu:

log„ xy = log. x + log₀ y.

Również tutaj, ta równość wraz z ciągłością charakteryzuje w pełni funkcję logarytmiczną: Jedyną funkcją, określoną i ciągłą w przedziale (0, +oo), i spełniającą w nim warunek (C), jest funkcja logarytmiczna (z wyjątkiem funkcji trywialnej /(x) = 0), tak że wzór (c) daje najogólniejsze rozwiązanie równania funkcyjnego (C) w funkcjach ciągłych.

Dla dowodu, weźmy dowolną funkcję /(*), ciągłą dla x> 0 i spełniającą równanie (C). Wprowadźmy nową zmienną f zmieniającą się w przedziale { — cc, +oo) i przyjmijmy

x=e⁽,    ę(i)=f(eⁱ),

skąd

{=lnx, /(•*)—p(lnx).

Funkcja ciągła [73] <p(i) spełnia warunek (por. (C))

<p((+n) =fił⁺") =/(eV) =/(e^{) +f(e”) = <p(t) + «_v)

postaci (A). Czyli

<p(£)=c i f(x)—clnx.

Jeżeli wyłączyć przypadek c = 0 (gdy f(x)=0), to otrzymany wynik można zapisać w postaci

/(x) = log„x,

gdzie a = e^1/c, cbdo.