0099

100

n. Funkcje jednej zmiennej

2)    Ustalimy, że dla a>l jest

lim log,x= + oo , lim log,x= — co .

X-» + oo    X-* + O

Przy dowolnie danym E>0, nierówność x>a^E pociąga za sobą log,x>£ i analogicznie, jeśli tylko 0<x«j^-*, to log,x<—E. W ten sposób udowodniliśmy obie równości.

3)    Mamy dalej

lim arctgjc=iji, lim arctgx= — $ji .

X-¥ + CD    X-* — 00

Zatrzymajmy się dla przykładu nad pierwszą równością. Przy dowolnym e>0 wystarcza wziąć *>tg (in—e), żeby otrzymać arc tg x>in—e, czyli

Ocj-rc —arctgx<«.

4) Trudniej niż w 1) otrzymać, że

a*

lim —= + oo (gdy a> 1).

x~* + oo X

Przypomnijmy, że mieliśmy już do czynienia ze specjalnym przypadkiem tego

lim —= + oo

n-*co n

[32, (9)]; oczywiście, jest równocześnie

lim-- + oo .

n-*oo 71 + 1

A więc, przy danej liczbie E>0, znajdziemy taką liczbę naturalną N, że dla h> N spełniona jest nierówność

->E.

n + r

Niech teraz będzie jr>JV+l; przyjmując n = [jc], mamy

n> N oraz «<jc<«+1 ,

czyli

a a x n + 1

co już dowodzi naszego twierdzenia.

Stąd, jak w ustępie 32, 9), łatwo otrzymać, że

lim —r-= + oo    (a>l,k>0).

x-» + oo X

5) Analogicznie w oparciu o poprzedni wynik [32,11)]

log, n

lim -=0    (o>l),

n -* + oo n

można ustalić, że

log,*

lim -=0    (a>l),

x-» + oo X

gdzie x przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste dodatnie.